摘要：推導(dǎo)為何等于在中所有數(shù)值都以標(biāo)準(zhǔn)的雙精度浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行存儲(chǔ)的。先來(lái)了解下標(biāo)準(zhǔn)下的雙精度浮點(diǎn)數(shù)。精度位總共是，因?yàn)橛每茖W(xué)計(jì)數(shù)法表示，所以首位固定的就沒(méi)有占用空間。驗(yàn)證完成的最大安全數(shù)是如何來(lái)的根據(jù)雙精度浮點(diǎn)數(shù)的構(gòu)成，精度位數(shù)是。

閱讀完本文可以了解到 0.1 + 0.2 為什么等于 0.30000000000000004 以及 JavaScript 中最大安全數(shù)是如何來(lái)的。

拿 173.8125 舉例如何將之轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制小數(shù)。

①. 針對(duì)整數(shù)部分 173，采取除 2 取余，逆序排列;

173 / 2 = 86 ... 1
86 / 2 = 43 ... 0
43 / 2 = 21 ... 1   ↑
21 / 2 = 10 ... 1   | 逆序排列
10 / 2 = 5 ... 0    |
5 / 2 = 2 ... 1     |
2 / 2 = 1 ... 0
1 / 2 = 0 ... 1

得整數(shù)部分的二進(jìn)制為 10101101。

②. 針對(duì)小數(shù)部分 0.8125，采用乘 2 取整，順序排列;

0.8125 * 2 = 1.625  |
0.625 * 2 = 1.25    | 順序排列
0.25 * 2 = 0.5      |
0.5 * 2 = 1         ↓

得小數(shù)部分的二進(jìn)制為 1101。

③. 將前面兩部的結(jié)果相加，結(jié)果為 10101101.1101;

根據(jù)上面的知識(shí)，將十進(jìn)制小數(shù) 0.1 轉(zhuǎn)為二進(jìn)制：

0.1 * 2 = 0.2
0.2 * 2 = 0.4 // 注意這里
0.4 * 2 = 0.8
0.8 * 2 = 1.6
0.6 * 2 = 1.2
0.2 * 2 = 0.4 // 注意這里，循環(huán)開(kāi)始
0.4 * 2 = 0.8
0.8 * 2 = 1.6
0.6 * 2 = 1.2
...

可以發(fā)現(xiàn)有限十進(jìn)制小數(shù) 0.1 卻轉(zhuǎn)化成了無(wú)限二進(jìn)制小數(shù) 0.00011001100...，可以看到精度在轉(zhuǎn)化過(guò)程中丟失了！

能被轉(zhuǎn)化為有限二進(jìn)制小數(shù)的十進(jìn)制小數(shù)的最后一位必然以 5 結(jié)尾(因?yàn)橹挥?0.5 * 2 才能變?yōu)檎麛?shù))。所以十進(jìn)制中一位小數(shù) 0.1 ~ 0.9 當(dāng)中除了 0.5 之外的值在轉(zhuǎn)化成二進(jìn)制的過(guò)程中都丟失了精度。

在 JavaScript 中所有數(shù)值都以 IEEE-754 標(biāo)準(zhǔn)的 64 bit 雙精度浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行存儲(chǔ)的。先來(lái)了解下 IEEE-754 標(biāo)準(zhǔn)下的雙精度浮點(diǎn)數(shù)。

這幅圖很關(guān)鍵，可以從圖中看到 IEEE-754 標(biāo)準(zhǔn)下雙精度浮點(diǎn)數(shù)由三部分組成，分別如下：

sign(符號(hào)): 占 1 bit, 表示正負(fù);

exponent(指數(shù)): 占 11 bit，表示范圍;

mantissa(尾數(shù)): 占 52 bit，表示精度，多出的末尾如果是 1 需要進(jìn)位;

推薦閱讀 JavaScript 浮點(diǎn)數(shù)陷阱及解法，閱讀完該文后可以了解到以下公式的由來(lái)。

精度位總共是 53 bit，因?yàn)橛每茖W(xué)計(jì)數(shù)法表示，所以首位固定的 1 就沒(méi)有占用空間。即公式中 (M + 1) 里的 1。另外公式里的 1023 是 2^11 的一半。小于 1023 的用來(lái)表示小數(shù)，大于 1023 的用來(lái)表示整數(shù)。
指數(shù)可以控制到 2^1024 - 1，而精度最大只達(dá)到 2^53 - 1，兩者相比可以得出 JavaScript 實(shí)際可以精確表示的數(shù)字其實(shí)很少。

0.1 轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制為 0.0001100110011...，用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為 1.100110011... x 2^(-4)，根據(jù)上述公式，S 為 0(1 bit)，E 為 -4 + 1023，對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制為 01111111011(11 bit)，M 為 1001100110011001100110011001100110011001100110011010(52 bit，另外注意末尾的進(jìn)位)，0.1 的存儲(chǔ)示意圖如下:

同理，0.2 轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制為 0.001100110011...，用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為 1.100110011... x 2^(-3)，根據(jù)上述公式，E 為 -3 + 1023，對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制為 01111111100, M 為 1001100110011001100110011001100110011001100110011010, 0.2 的存儲(chǔ)示意圖如下:

0.1 + 0.2 即 2^(-4) x 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010 與 2^(-3) x 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010 之和

// 計(jì)算過(guò)程
0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011010
0.0011001100110011001100110011001100110011001100110011010

// 相加得
0.01001100110011001100110011001100110011001100110011001110

0.01001100110011001100110011001100110011001100110011001110 轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制就是 0.30000000000000004。驗(yàn)證完成!

根據(jù)雙精度浮點(diǎn)數(shù)的構(gòu)成，精度位數(shù)是 53 bit。安全數(shù)的意思是在 -2^53 ~ 2^53 內(nèi)的整數(shù)(不包括邊界)與唯一的雙精度浮點(diǎn)數(shù)互相對(duì)應(yīng)。舉個(gè)例子比較好理解：

Math.pow(2, 53) === Math.pow(2, 53) + 1 // true

Math.pow(2, 53) 竟然與 Math.pow(2, 53) + 1 相等！這是因?yàn)?Math.pow(2, 53) + 1 已經(jīng)超過(guò)了尾數(shù)的精度限制(53 bit)，在這個(gè)例子中 Math.pow(2, 53) 和 Math.pow(2, 53) + 1 對(duì)應(yīng)了同一個(gè)雙精度浮點(diǎn)數(shù)。所以 Math.pow(2, 53) 就不是安全數(shù)了。

最大的安全數(shù)為 Math.pow(2, 53) - 1，即 9007199254740991。

了解 JavaScript 精度問(wèn)題對(duì)我們業(yè)務(wù)有什么幫助呢？舉個(gè)業(yè)務(wù)場(chǎng)景：比如有個(gè)訂單號(hào)后端 Java 同學(xué)定義的是 long 類型，但是當(dāng)這個(gè)訂單號(hào)轉(zhuǎn)換成 JavaScript 的 Number 類型時(shí)候精度會(huì)丟失了，那沒(méi)有以上知識(shí)鋪墊那就理解不了精度為什么會(huì)丟失。

解決方案大致有以下幾種：

1.針對(duì)大數(shù)的整數(shù)可以考慮使用 bigint 類型(目前在 stage 3 階段)；

2.使用 bigNumber，它的思想是轉(zhuǎn)化成 string 進(jìn)行處理，這種方式對(duì)性能有一定影響；

3.可以考慮使用 long.js，它的思想是將 long 類型的值轉(zhuǎn)化成兩個(gè) 32 位的雙精度類型的值。

4.針對(duì)小數(shù)可以考慮 JavaScript 浮點(diǎn)數(shù)陷阱及解法 里面提到的方案；

代碼之謎系列

IEEE-754 進(jìn)制轉(zhuǎn)換圖生成

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