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IEEE754 浮點(diǎn)數(shù)格式 與 Javascript number 的特性

BigTomato / 963人閱讀

摘要：類型使用的就是標(biāo)準(zhǔn)中的雙精度浮點(diǎn)數(shù)。數(shù)字的許多特性都依賴于此標(biāo)準(zhǔn)，例如令人費(fèi)解的不等于這篇文章介紹標(biāo)準(zhǔn)中雙精度浮點(diǎn)數(shù)二進(jìn)制儲(chǔ)存格式，并由此推出中數(shù)字的一些特性。

Javascript 作為一門動(dòng)態(tài)語言，其數(shù)字類型只有 number 一種。 nubmer 類型使用的就是 IEEE754 標(biāo)準(zhǔn)中的 雙精度浮點(diǎn)數(shù)。Javascript 數(shù)字的許多特性都依賴于此標(biāo)準(zhǔn)，例如令人費(fèi)解的 0.1+0.2不等于0.3

這篇文章介紹 IEEE754 標(biāo)準(zhǔn)中雙精度浮點(diǎn)數(shù)二進(jìn)制儲(chǔ)存格式，并由此推出 js 中數(shù)字的一些特性。

一、IEEE754 中浮點(diǎn)數(shù)的儲(chǔ)存格式

在 IEEE754 中，雙精度浮點(diǎn)數(shù)儲(chǔ)存為64位：

指數(shù)位可以通過下面的方法轉(zhuǎn)換為使用的指數(shù)值：

浮點(diǎn)數(shù)表示的值的形式由 $e$ 和 $f$ 確定：

二、根據(jù) IEEE754 計(jì)算 0.1+0.2 1. 將 0.1 使用轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制

$0.1 = (0.0dot0dot0dot1dot1)_2=(-1)^0 imes2^{-4} imes(1.dot1dot0dot0dot1)_2$

$0.2 = 0.1 imes2^1=(-1)^0 imes2^{-3} imes(1.dot1dot0dot0dot1)_2$

由于小數(shù)位 $f$ 僅儲(chǔ)存 52bit, 儲(chǔ)存時(shí)會(huì)將超出精度部分進(jìn)行"零舍一入"

值類型 小數(shù)位(儲(chǔ)存范圍內(nèi)) 小數(shù)位(儲(chǔ)存范圍外)
無限精確值 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001...
實(shí)際儲(chǔ)存值 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1010 -

由于計(jì)算加減時(shí)不會(huì)對(duì)指數(shù)位進(jìn)行位運(yùn)算，這里不計(jì)算指數(shù)位的表示，直接使用數(shù)字表示最終的指數(shù)值

0.1、0.2 的表示如下：

浮點(diǎn)數(shù)數(shù)值 符號(hào)位 $s$ 指數(shù)值 $E$ 小數(shù)位 $f$
0.1 0 -4 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1010
0.2 0 -3 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1010
2. 將 0.1 與 0.2 相加

在計(jì)算浮點(diǎn)數(shù)相加時(shí)需要先進(jìn)行“對(duì)位”，將較小的指數(shù)化為較大的指數(shù)，并將小數(shù)部分相應(yīng)右移

$0.1 ightarrow (-1)^0 imes2^{-3} imes(0.1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1101 0)_2$
$0.2 ightarrow (-1)^0 imes2^{-3} imes(1.1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1010)_2$

$0.1 + 0.2 = (-1)^0 imes2^{-2} imes(1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100)_2$

可以通過下面的方法檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果是否于 js 中一致：

0.1 + 0.2 === (-1)**0 * 2**-2 * (0b10011001100110011001100110011001100110011001100110100 * 2**-52)
//> true
//計(jì)算正確
三、計(jì)算 javascript Number 的特性

在js中 Number對(duì)象上附帶了許多屬性，表示可數(shù)的范圍等信息，例如 Number.MAX_SAFE_INTEGER 是一個(gè)16位的數(shù)字，這一部分將解釋如何計(jì)算出這些有特殊意義的數(shù)字。

1.計(jì)算 Number.MAX_VALUE 和 Number.MIN_VALUE

當(dāng)符號(hào)位為0、指數(shù)取到1023、小數(shù)位全為1時(shí)，為可表示的最大值
當(dāng)符號(hào)位為0、指數(shù)位全為0（表示非規(guī)格浮點(diǎn)數(shù)）、小數(shù)位僅最后一位為1時(shí)，為可表示的最小正值

var max = (-1)**0 * 2**1023 * (Number.parseInt( "1".repeat(53) ,2) * 2**-52);
max === Number.MAX_VALUE;
//> true

var min = (-1)**0 * 2**-1022 * (Number.parseInt( "0".repeat(52)+"1" ,2) * 2**-52);
min === Number.MIN_VALUE;
//> true
2.計(jì)算 Number.MAX_SAFE_INTEGER 和 Number.MIN_SAFE_INTEGER

Number.MAX_SAFE_INTEGER 表示最大安全整數(shù)，它是9開頭的16位數(shù)字，也表明js number最大精度不超過16位。

ECMASCRIPT-262 定義：

The value of Number.MAX_SAFE_INTEGER is the largest integer n such that n and n + 1 are both exactly representable as a Number value.  
http://www.ecma-international...

改變指數(shù)位為53，這讓每個(gè)小數(shù)位都表示浮點(diǎn)數(shù)的整數(shù)部分，小數(shù)位最低位對(duì)應(yīng) $2^0$，然后將每個(gè)小數(shù)位都置1，可得最大準(zhǔn)確整數(shù)：

var max_safe_int = (-1)**0 * 2**52 * (Number.parseInt("1".repeat(53),2) * 2**-52);
max_safe_int === Number.MAX_SAFE_INTEGER;
//> true
//當(dāng)它 +1 時(shí)，可由 (-1)**0 * 2**53 * (Number.parseInt("1"+"0".repeat(52),2) * 2**-52) 正確表示，而再 +1 時(shí)則無法準(zhǔn)確表示

//符號(hào)位取反可得最小安全整數(shù)
-1 * max_safe_int === Number.MIN_SAFE_INTEGER;
3.計(jì)算 Number.EPSILON

Number.EPSILON 是一個(gè)極小值，用于檢測計(jì)算結(jié)果是否在誤差范圍內(nèi)。例如：

Math.abs(0.1 + 0.2 - 0.3) < Number.EPSILON;
//> true

//2017-9-27 補(bǔ)充
1.1 + 1.3 - 2.4 < Number.EPSILON
//> false

根據(jù) ECMASCRIPT-262 定義：

The value of Number.EPSILON is the difference between 1 and the smallest value greater than 1 that is representable as a Number value, which is approximately 2.2204460492503130808472633361816 x 10???16.

http://www.ecma-international...

根據(jù)定義Number.EPSILON是大于1的最小可表示數(shù)與1的差，可以據(jù)此計(jì)算出 Number.EPSILON 的值：

//將表示1的二進(jìn)制小數(shù)位的最左端置1，可表示大于1的最小數(shù)
var epsilon = (-1)**0 * 2**0 * (Number.parseInt("1"+"0".repeat(51)+"1",2) * 2**-52) - 1;
// (-1)**0 * 2**0 * (+`0b1${"0".repeat(51)}1` * 2**-52) - 1;
epsilon === Number.EPSILON;
//> true

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