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資訊專欄INFORMATION COLUMN

leetcode494. Target Sum

RobinTang / 1677人閱讀

摘要：為了尋找合適的正負(fù)號賦值，我們其實(shí)可以將數(shù)組分為兩個(gè)子集，其中一個(gè)子集中的數(shù)字都被賦予了正號，而另一個(gè)子集中的數(shù)字都被賦予了負(fù)號。如果二者的和不是一個(gè)偶數(shù)，就一定無法找到這樣的正負(fù)號集合使得其結(jié)果為。

題目要求 
You are given a list of non-negative integers, a1, a2, ..., an, and a target, S. 
Now you have 2 symbols + and -. For each integer, you should choose one from + and - as its new symbol.

Find out how many ways to assign symbols to make sum of integers equal to target S.

Example 1:
Input: nums is [1, 1, 1, 1, 1], S is 3. 
Output: 5
Explanation: 

-1+1+1+1+1 = 3
+1-1+1+1+1 = 3
+1+1-1+1+1 = 3
+1+1+1-1+1 = 3
+1+1+1+1-1 = 3

There are 5 ways to assign symbols to make the sum of nums be target 3.
Note:
The length of the given array is positive and will not exceed 20.
The sum of elements in the given array will not exceed 1000.
Your output answer is guaranteed to be fitted in a 32-bit integer.

現(xiàn)在有一個(gè)整數(shù)數(shù)組，你需要為每一個(gè)數(shù)組賦予正號或是負(fù)號，使其的和為目標(biāo)值。

思路一：廣度優(yōu)先遍歷

直觀的來說，我們可以將所有的情況都嘗試一遍并且將可能構(gòu)成結(jié)果的集合統(tǒng)計(jì)下來。就以題目中例子來說，原始的輸入為[1,1,1,1,1]，目標(biāo)值為3。那么我們假設(shè)先給第一個(gè)值設(shè)置為正數(shù)，則只需要知道[1,1,1,1]組合成目標(biāo)值2的集合個(gè)數(shù)即可。通過不斷的遞歸調(diào)用，當(dāng)遍歷到數(shù)組的盡頭時(shí)，我們只需要知道當(dāng)前的目標(biāo)值是否為0，如果為0，說明該嘗試成功并返回1，否則返回0。

    public int findTargetSumWays(int[] nums, int S) {
        return findTargetSumWays(nums, 0, S);
    }
    
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int start, int S){
        if(start==nums.length){
            if(S == 0){
                return 1;
            }else{
                return 0;
            }
        }
        int count = 0;
        count += findTargetSumWays(nums, start+1, S-nums[start+1]);
        count += findTargetSumWays(nums, start+1, S+nums[start+1]);
        return count;
        
    }
思路二：子集查找

這個(gè)是我從網(wǎng)上找來的思路，但是網(wǎng)上的很多博客解釋的并不清楚，這里我再試著詳細(xì)的解釋一下。

為了尋找合適的正負(fù)號賦值，我們其實(shí)可以將數(shù)組分為兩個(gè)子集，其中一個(gè)子集中的數(shù)字都被賦予了正號，而另一個(gè)子集中的數(shù)字都被賦予了負(fù)號。所有的數(shù)字都將落入這兩個(gè)集合中。那么我們令正號的集合為S(P)，負(fù)號的集合為S(N)，所有數(shù)字的和為sum，目標(biāo)值為target。我們可以推倒出如下結(jié)論：

S(P) + S(N) = sum
S(P) - S(N) = target
S(P) * 2 = sum + target

因此，sum和target的和一定是一個(gè)偶數(shù)。如果二者的和不是一個(gè)偶數(shù)，就一定無法找到這樣的正負(fù)號集合使得其結(jié)果為target。

因此，題目被我們轉(zhuǎn)化為從該集合中找到所有子集，每個(gè)子集需滿足其下所有數(shù)字的和為positive = (sum+target)/2。

這個(gè)問題我們可以通過動(dòng)態(tài)規(guī)劃來解決。

假設(shè)我們想知道構(gòu)成positive的集合有多少個(gè)，其實(shí)可以分解為以下幾個(gè)部分：

第一步，當(dāng){nums[0],nums[1]}為基數(shù)時(shí)，則

Count(positive) = Count(positive-nums[0])
Count(positive-1) = Count(positive-1-nums[0])
...
Count(nums[0]+1) = Count(0)

第二步，當(dāng){nums[0],nums[1]}為基數(shù)時(shí)，同理

Count(positive) = Count(positive-nums[0])
Count(positive-1) = Count(positive-1-nums[0])
...
Count(nums[0]+1) = Count(0)

你會(huì)發(fā)現(xiàn)二者的步驟居然是一樣的！因?yàn)檫@里采用了動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思想，第一圈遍歷之后，Count(i)上的值實(shí)際上代表著由{nums[0]}為基數(shù)和為i的集合的數(shù)量。第二圈遍歷之后，Count(i)上的值代表著由{nums[0],nums[1]}為基數(shù)時(shí)和為i的集合的數(shù)量。

因此，第n全遍歷后，Count(positive)上的值就代表著由{nums[0], nums[1]...nums[n-1]}為基數(shù)時(shí)和為positive的集合的數(shù)量。

    public int findTargetSumWays2(int[] nums, int S) {
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
            sum += Math.abs(nums[i]);
        }
        //數(shù)組中所有的值的和小于標(biāo)準(zhǔn)值 或是奇偶性不同 則直接返回
        return  sum < S || (sum + S) % 2 == 1 ? 0 : helper(nums, (sum + S) / 2);
    }
    private int helper(int[] nums, int sum) {
        //array[i]是指和為i的集合有多少個(gè)
        int[] array = new int[sum + 1];
        array[0] = 1;
        for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
            for(int j = sum; j - nums[i] >= 0; j--) {
                array[j] += array[j - nums[i]];
            }
        }
        return array[sum];
    }


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