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漢諾塔問(wèn)題

RayKr / 453人閱讀

摘要：概述漢諾塔是一個(gè)經(jīng)典的遞歸問(wèn)題，雖說(shuō)看人家寫好的算法程序就那么幾行，但著實(shí)理解有一定的難度。查閱了一些資料，參閱別人的思路，對(duì)漢諾塔算法進(jìn)行一番梳理。問(wèn)題來(lái)源有一個(gè)梵塔，塔內(nèi)有三個(gè)座，座上有若干個(gè)盤子，盤子大小不等，大的在下，小的在上如圖。

概述

漢諾塔是一個(gè)經(jīng)典的遞歸問(wèn)題，雖說(shuō)看人家寫好的算法程序就那么幾行，但著實(shí)理解有一定的難度。查閱了一些資料，參閱別人的思路，對(duì)漢諾塔算法進(jìn)行一番梳理。

問(wèn)題來(lái)源

有一個(gè)梵塔，塔內(nèi)有三個(gè)座A、B、C，A座上有若干個(gè)盤子，盤子大小不等，大的在下，小的在上（如圖）。

需要把這些個(gè)盤子從A座移到C座，中間可以借用B座，但每次只允許移動(dòng)一個(gè)盤子，并且在移動(dòng)過(guò)程中，3個(gè)座上的盤子始終保持大盤在下，小盤在上。

實(shí)例

我們從簡(jiǎn)單的來(lái)看一下如何移動(dòng)。

只有一個(gè)盤子

傻子也知道，直接移動(dòng)到C座就OK了。

有兩個(gè)盤子 [1 2]

把1移動(dòng)到B

把2移動(dòng)到C

把1移動(dòng)到C

有三個(gè)盤子 [1 2 3]

把1移動(dòng)到C

把2移動(dòng)到B

把1移動(dòng)到B

把3移動(dòng)到C

把1移動(dòng)到A

把2移動(dòng)到C

把1移動(dòng)到C

雖說(shuō)好像感覺(jué)有一定規(guī)律，但好像說(shuō)不出來(lái)個(gè)所以然。

規(guī)律

對(duì)于上面的例子，我們可以總結(jié)出兩點(diǎn)：

最后一步肯定是把1移動(dòng)到C

如果盤子數(shù)大于1（1就直接移了），肯定要把最大的盤子上面的全部盤子放到B上，然后將最大的放到C上

由上面的兩點(diǎn)，我們來(lái)探究一下遞歸關(guān)系。

假設(shè)有n個(gè)盤子，分別標(biāo)記為 [1 2 3... n] 大數(shù)表示大盤子，已經(jīng)在A座上放好。

初始狀態(tài)
A：有n個(gè)盤子
B：空
C：空

我們現(xiàn)在有一個(gè)方法：hanoi(int n, String a, String b, String c) ，作用就是將n個(gè)盤子從a座借助b座移動(dòng)到c座。

我們先不考慮它是怎么移過(guò)去的。

下面我們使用這個(gè)方法，結(jié)合上面我們總結(jié)的規(guī)律進(jìn)行移動(dòng)盤子。

第一步，將[1 2 3... n-1]個(gè)盤子從A移動(dòng)到B上，再將 n 盤子移動(dòng)到C上
hanoi(n-1, A, C, B)
// 將A上的n-1個(gè)盤子移動(dòng)到B上
hanoi(1, A, B, C)
// 將A上的一個(gè)盤子移動(dòng)到C

現(xiàn)在我們的盤子情況為

A：空
B：有n-1個(gè)盤子
C：最大的n盤子

由于最大的n盤子上可以放任何盤子，你可以完全忽略它的存在，不用管它，這時(shí)候的情形（忽略n盤子的存在）是不是跟初始狀態(tài)類似呢（一個(gè)有盤子，其余的沒(méi)有盤子）？是的，只不過(guò)順序發(fā)生的變化并且盤子的數(shù)量減少了一個(gè)。

我們的總盤子數(shù)為：n-1

我們的B座就是初始狀態(tài)的A座，A座就是初始狀態(tài)的B座，C座還是C座。

第二步，將B座上的[1 2 3... n-1-1] 從B移動(dòng)到A上，將n-1盤子從B移動(dòng)到C
hanoi(n-2, B, C, A)
// 將B上的n-1-1個(gè)盤子移動(dòng)到A上
hanoi(1, B, A, C)
// 將B上的一個(gè)盤子移動(dòng)到C

現(xiàn)在我們的盤子情況為

A：有n-1-1個(gè)盤子
B：空
C：最大的n盤子和倒數(shù)第二個(gè)n-1盤子

C上的盤子已經(jīng)擺好，可以認(rèn)為是空座，是不是又回到了初始狀態(tài)的情形呢？是的，盤子數(shù)減一。

第三步，將A座上的[1 2 3... n-2-1] 從A移動(dòng)到B上，將n-2盤子從A移動(dòng)到C
hanoi(n-3, A, C, B)
// 將A上的n-2-1個(gè)盤子移動(dòng)到A上
hanoi(1, A, B, C)
// 將A上的一個(gè)盤子移動(dòng)到C

又回到類似第一步執(zhí)行后的情形了，如此反復(fù)，直到所有盤子都成功移動(dòng)到C上為止。

經(jīng)過(guò)上述的推敲，我們知道，每經(jīng)過(guò)一步，盤子數(shù)少一個(gè)，并且A和B兩座的位置互換（這里指他們輪流充當(dāng)初始狀態(tài)A的角色）。

代碼實(shí)現(xiàn)(Java) 
public static void hanoi(int n, String a, String b, String c) {
    if (n == 1) {
        System.out.println("將" + a + "最上面的盤子移動(dòng)到" + c);
        return;
    }
    // 當(dāng)前盤子在a上，將當(dāng)前盤子數(shù)-1放到b上
    hanoi(n-1, a, c, b);
    // 剩下一個(gè)放到c上
    hanoi(1, a, b, c);
    // 當(dāng)前盤子在b上，b是下一輪的a， a b 換位置，進(jìn)行下一輪
    hanoi(n-1, b, a, c);
}

調(diào)用：

hanoi(1, "A", "B", "C");
// 將A最上面的盤子移動(dòng)到C

hanoi(2, "A", "B", "C");
// 將A最上面的盤子移動(dòng)到B
// 將A最上面的盤子移動(dòng)到C
// 將B最上面的盤子移動(dòng)到C

hanoi(3, "A", "B", "C");
// 將A最上面的盤子移動(dòng)到C
// 將A最上面的盤子移動(dòng)到B
// 將C最上面的盤子移動(dòng)到B
// 將A最上面的盤子移動(dòng)到C
// 將B最上面的盤子移動(dòng)到A
// 將B最上面的盤子移動(dòng)到C
// 將A最上面的盤子移動(dòng)到C

解釋一下a b c 和A B C的關(guān)系

A B C是實(shí)際的盤子座，a b c表示的是一種狀態(tài)，即初始狀態(tài)a 表示有待移動(dòng)的若干個(gè)盤子的座，b c始終表示空座（c上可能有盤子，但已經(jīng)擺好，可以認(rèn)為為空）。

每移動(dòng)一輪，A座與B座交換存盤子，若A有盤子，A就是參數(shù)a，若B有盤子，B就是參數(shù)a，C位置不動(dòng)。

總之a 始終代表堆著盤子的座。

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