摘要：整數(shù)除法對兩個不能整除的整數(shù)做除法，就要面對舍入的問題。中的舍入除了缺省的舍入方式，還有多種舍入可供選擇。就是說，我們輸入的十進制數(shù)，在計算機內部都是用二進制來表示的。

關于除法，你也許覺得沒什么值得談論的，畢竟小學的時候體育老師就教過我們了。然而對于編程中使用的除法，我覺得還是有很多值得注意的細節(jié)的。為什么我想深究一下？因為我日常主要使用Java和Python編程，而它們的除法在細節(jié)上有很多不同之處，全是坑啊…所以接下來我也將著重于Java和Python，但是相信我，就算你不用Java和Python，也會有所收獲的。

對兩個不能整除的整數(shù)做除法，就要面對舍入的問題。和大多數(shù)編程語言一樣，Java的基本策略是向零取整(round to zero)，也就是向絕對值變小的方向取整。舉幾個香甜的小栗子：3/2=1, -3/2=-1。而對于Python而言，情況就有所不同了。

>>>-1/10
-1

顯然如果按照Java的取整策略，-1/10應該得0，而Python給出的結果是-1。事實上Python的取整方式是向下取整，也就是向著數(shù)軸上負無窮的方向取整。
好吧，Java和Python的取整方式不同，奪大點事兒啊…那么如果我們要在Python下采用向零取整的結果，咋整？一種比較直接的方式是：

>>>int(float(-1)/10)
0

誰說沒大事？(￣▽￣)大事來了！

Java和Python整數(shù)除法都遵循下面這個公式：

(a/b)*b+c=a

也就是說：

a mod b=c=a-(a/b)*b

這里的/表示的是整數(shù)除法。既然它們的取整方式不一樣，那么取余也會受到影響：

For Java: -2 % 3==-2
For Python: -2 % 3==1

在某些實際應用中，我們可能會被要求得到一個整數(shù)的各位數(shù)字。如果輸入的整數(shù)的正的，Java和Python都可以用相同的方法來解決：?

def func(a):
    pos, res=1, []
    while a/pos:
        res+=(a/pos)%10,
        pos*=10
    return res

Java代碼也差不多就是這樣了。但如果輸入的整數(shù)是一個負數(shù)，Java版本的代碼還是可以得到正確的結果，而Python不能（曾經(jīng)在這里被坑的，舉手）。那怎樣用Python正確地搞定這個問題嘞？可以先去絕對值和符號，當正數(shù)來處理，最后再在結果里搭上符號。

我們知道，在Python中，基本的除號“/”是被重載了的。當兩個操作數(shù)都是整數(shù)時，進行整數(shù)除法，得到整數(shù)結果，否則進行浮點數(shù)除法（真除法），得到浮點數(shù)結果。從Python 2.2開始，另一個除號被引入：//，它只執(zhí)行整數(shù)除法。注意，//的結果類型依操作數(shù)而定。

>>>1.0/2
0.0
>>>1.0//2.0
0.0
>>>1//2
>0

另外，如果想同時得到商和余數(shù)，可以使用內建的函數(shù)divmod，結果是一個tuple。

>>>divmod(7, 2)
(3, 1)
>>>divmod(7.0, 2)
(3.0, 1.0)

除了缺省的舍入方式，Python還有多種舍入可供選擇。
Floor rounding:

>>>import math
>>>math.floor(1.2)
1.0
>>>math.floor(-1.2)
-2.0

Ceiling rounding:

>>>math.ceil(1.2)
2.0
>>>math.ceil(-1.2)
-1.0

Round-off:

>>>round(0.5)
1.0
>>>round(-0.4)
-0.0
>>>round(-0.5)
-1.0

內嵌的round函數(shù)也可以一個指定保留小數(shù)位數(shù)的參數(shù)：

>>>round(0.21, 1)
0.2
>>>round(0.21, 2)
0.21

Caution !

>>>round(2.675, 2)
2.67

咦？bug啦？！當然不是。這里要明確一件事：計算機只認識0,1（量子計算機？懵）。就是說，我們輸入的十進制數(shù)，在計算機內部都是用二進制來表示的。有的十進制數(shù)可以用二進制準確地表示出來,比如十進制的0.125可以表示為0b0.001；然而很多的小數(shù)是沒法用二進制數(shù)精確表示的，計算機里存儲的是它們的近似值，例如十進制的0.1，用二進制表示，可以近似為: 0b0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011010，所以當我們把它換回十進制數(shù)以輸出或者使用，得到的值就是0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625。也就是說，0.1在計算機里并不是剛好等于1/10的。你看：

>>>0.1+0.2
0.30000000000000004

同樣，當我們運行round()函數(shù)，也是對計算機中實際存儲的值近似取舍。2.67實際上近似為2.67499999999999982236431605997495353221893310546875，第三位小數(shù)是4，那么round(2.675, 2)就相當于round(2.674, 2)，結果當然是2.67。值得注意的是，這種現(xiàn)象是廣泛存在于各種計算機和各種編程語言的，不是bug，只是有的語言選擇了不讓你看到。

Java提供了floor和ceil方法來實現(xiàn)向下和向上取整。

Math.floor(2.9)
Math.ceil(2.1)

這倆函數(shù)簡單方便，居家旅行必備。另外Java中也有個round函數(shù)，可以實現(xiàn)各種復雜的取整。

System.out.println(Math.round(0.5));
//輸出 1
System.out.println(Math.round(-0.5));
//輸出 0
System.out.println(Math.round(-0.51));
//輸出 -1

這什么鬼！Keep Calm and Carry On！
數(shù)學上有多種不同的策略來進行取整，比如我們體育老師教的四舍五入。各種取整策略的共同點就是要做真值作近似，那就會引入偏差。四舍五入顯然并不是一種公平的策略（想想0~4的舍和5~9的得）。
有一個叫做銀行家舍入(Banker’s Rounding)的東西，不造你聽過沒，反正我是最近才知道的。事實上.NET和VB6都是默認采用這種方式，而且IEEE 754默認采用這種Rounding。Banker’s Rounding 也就是 round to even 策略。
假設當前考慮那位的數(shù)字是d（其實d就是將不被保留的第一位），如果d<5，則舍(round to zero)；如果d>5，則入(round away from zero)；而當d==5時，就要根據(jù)d前后的數(shù)位來確定往哪邊取了。

1) 如果d之后存在非零的數(shù)位，則入；
2)如果d之后不存在非零的數(shù)位，則看d之前的一個數(shù)位，用c表示：
 　　a.如果c是奇數(shù)，則入；
　　b.如果c是偶數(shù)，則舍。

再來一把栗子，對下列數(shù)保留0位小數(shù)，
第一位小數(shù)就是d，整數(shù)位就是c：

BankRound(0.4)==0,　　BankRound(0.6)==1,　　BankRound(-0.4)==0,　　BankRound(-0.6)==-1
BankRound(1.5)==2.0,　　BankRound(-1.5)==-2.0,　　BankRound(2.5)==2.0,　　BankRound(-2.5)==-2.0
BankRound(1.51)==2.0,　　BankRound(-1.51)==-2.0,　　BankRound(2.51)==3.0,　　BankRound(-2.51)==-3.0

可以看出，Banker’s Rounding對正數(shù)和負數(shù)的處理是對稱的，因此不會引入符號帶來的偏差。另外它以均等的幾率來舍入數(shù)位（考慮c, c有各一半的幾率為奇數(shù)和偶數(shù)），所以多次舍入后與真值的差別會較小。

扯了這么多，跟Java的Math.round( )有什么關系呢？我也是寫到這才發(fā)現(xiàn)，好像沒什么軟(luan)關系。因為它并沒有遵循Banker’s rounding。而是按照以下策略進行取整：
當考慮的數(shù)位d不是5，d<5就舍，d>5則入。
當d==5：

a.如果d的右邊有非零數(shù)位，則入；
b.如果d的右邊沒有非零數(shù)位，則 round to ceiling，即對負數(shù)舍，對正數(shù)入。

Java文檔里是這么表述的

還有還有, 在Java里可以使用 BigDecimal 和 RoundingMode 實現(xiàn)更通用的取整方式。

double d=-2.5;
BigDecimal bd=new BigDecimal(d);
double nd=bd.setScale(0,
RoundingMode.HALF_EVEN).doubleValue();
System.out.println(nd);
//輸出 -2.0

setScale 的第一個參數(shù)是保留的小數(shù)位數(shù)，第二個參數(shù)是舍入模式?？蛇x的舍入模式有：
HALF_EVEN, 也就是銀行家方式；
HALF_UP, 四舍五入；
HALF_DOWN, 五舍六入；
CEILING、FLOOR, 向正無窮、負無窮方向；
UP、DOWN*, 向零和遠離零；
UNNECESSARY, 斷言舍入后的值和原值相等，也就是不需要舍入。如果斷言錯了，拋出ArithmeticException異常。

先寫到這，比較粗糙，但是希望你有所收獲吧。歡迎討論，有話好好說(￣▽￣)

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