摘要：圖是構(gòu)成網(wǎng)頁的超文本標記語言中的標簽相互關(guān)聯(lián)關(guān)系所構(gòu)成的樹。節(jié)點節(jié)點是樹的基本構(gòu)成部分。子樹子樹是一個父節(jié)點的某個子節(jié)點的所有邊和后代節(jié)點所構(gòu)成的集合。高度樹的高度等于所有節(jié)點的層數(shù)的最大值。每個子樹的根節(jié)點和其父樹的根節(jié)點之間通過邊相連。

我們已經(jīng)學過了像棧和隊列這樣的線性數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，同時我們對遞歸也有了一定的了解，現(xiàn)在讓我們來看看另一種常見的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)——樹（Tree）。樹在計算機科學里應用廣泛，包括操作系統(tǒng)，圖形學，數(shù)據(jù)庫和計算機網(wǎng)絡(luò)。樹和真正的樹有許多相似的地方，也包括根、樹枝和葉子，它們的不同在于計算機中的樹的根在頂層而它的葉子在底部。

在我們開始學習樹之前，讓我們先來看看幾個常見的關(guān)于樹的例子。首先讓我們看看生物學中的分類。圖 1 是一個動物分類的例子，從中我們可以看出樹的幾個特點。第一，這個例子說明樹是分級的，這里分級的意思是樹的頂層部分更加寬泛，而底部更加具體。在這個例子中，最上層的是“界”，它下面的一層（上層的子級）是“門”，然后是“綱”等等。但是，無論我們細分到多少層，這里面包含的生命體也都是動物。

圖 1：一些動物的分類樹

我們注意到可以從樹的頂層開始然后沿著圓圈和箭頭構(gòu)成的一條路徑到達樹的底層。在樹的每一層我們都可以問自己一個問題，然后沿著相符的那條路徑繼續(xù)下去。比如我們可以問 “這個動物是脊椎動物還是無脊椎動物”，如果回答是“脊椎動物”我們就沿著脊椎動物這條路下去然后接著問“這個脊椎動物是哺乳動物嗎”，如果回答“不是哺乳動物”我們就卡在這里了（不過僅限于這個簡單的例子會有這種情況）。當我們到達哺乳動物這一層的時候我們問自己“這個哺乳動物是靈長類還是食肉動物”。我們可以沿著路徑一直走下去直到樹的最底層，這也就能看到動物的名稱了。

樹的第二個特點是一個節(jié)點（node）的所有子節(jié)點（children）和另一個節(jié)點的子節(jié)點是完全獨立的。比如“貓屬”有兩個子節(jié)點“家生”和“野生”，“蠅屬”中也有一個“家生”，但它和“貓屬”中的“家生”完全不同而且相互獨立。這意味著我們可以在不影響“貓屬” 的子節(jié)點的情況下更改“蠅屬”的子節(jié)點。

樹的第三個特點就是每個它的葉節(jié)點（leaf）都是不同的。對每一種動物，我們都可以從根節(jié)點（root）開始沿著一條特定的路徑找到它對應的葉節(jié)點，并把它和其他動物區(qū)分開，例如對于家貓，我們可以沿著動物界——脊索動物門——哺乳動物綱——食肉動物目——貓科——貓屬——家貓找到它。

另一個樹的例子就是你每天都會用到的文件系統(tǒng)。在文件系統(tǒng)中，磁盤的分支或者說子目錄都是運用了樹來構(gòu)建的。圖 2 展示了Unix文件系統(tǒng)的部分的分層情況。

圖 2 ：Unix文件系統(tǒng)的部分的分層情況

這個樹的文件系統(tǒng)和真正的樹也非常相像。你可以從根節(jié)點出發(fā)沿著一條路徑到任意分支。這條路徑會把這個子分支（包括它里面的所有文件）和其他分支區(qū)別開。樹的另一重要特點，就是你可以將樹下層的所有部分（叫做子樹subtree）移動到樹的另一位置而不影響更下層的情況，這是由樹的分級方式?jīng)Q定的。例如，我們可以將所有標注/etc的子樹從根節(jié)點下移動到usr/下面。這樣做會將 httpd 的路徑從/etc/httpd改變成/usr/etc/httpd，但是對httpd的內(nèi)容和子節(jié)點的內(nèi)容不會有影響。

最后一個樹的例子是一個網(wǎng)頁。下圖是一個利用超文本標記語言（HTML）編寫的簡單網(wǎng)頁。圖 3 是構(gòu)成網(wǎng)頁的超文本標記語言中的標簽相互關(guān)聯(lián)關(guān)系所構(gòu)成的樹。

    
        
        
    
    
        
A simple web page
            

                
List item one
                
List item two
            
        
Luther CS 

    

圖 3 ：網(wǎng)頁的標記符之間的相互關(guān)聯(lián)所構(gòu)成的樹

上面的超文本標記的代碼和它對應的樹說明了另一種分級方式。我們發(fā)現(xiàn)樹的每一層都對應超文本標記符的一層嵌套。代碼的第一個標記符是同時最后一個是。這一頁中所有其他的標記符也都是成對的。試一下你就會發(fā)現(xiàn)這種嵌套的特點在樹的每一層都是成立的。

現(xiàn)在我們已經(jīng)看了幾個樹的例子了，現(xiàn)在正式定義樹以及構(gòu)成它的要素。

節(jié)點（Node）
節(jié)點是樹的基本構(gòu)成部分。它可能有其他專屬的名稱，我們稱之為“鍵（key）”。一個節(jié)點也可能有更多的信息，我們稱之為“負載”。雖然負載信息和樹的許多算法并不直接相關(guān)，但是它對于樹的應用至關(guān)重要。

邊（Edge）
邊也是樹的基本構(gòu)成部分。邊連接兩個節(jié)點，并表示它們之間存在聯(lián)系。除了根節(jié)點外每個節(jié)點都有且只有一條與其他節(jié)點相連的入邊（指向該節(jié)點的邊），每個節(jié)點可能有許多條出邊（從該節(jié)點指向其他節(jié)點的邊）。

根節(jié)點（Root）
根節(jié)點是樹種中唯一一個沒有入邊的節(jié)點。在圖 2 中，“/”是樹的根節(jié)點。

路徑（Path）
路徑是由邊連接起來的節(jié)點的有序排列。例如：（動物界——脊索動物門——哺乳動物綱——食肉動物目——貓科——貓屬——家貓）就是一條路徑。

子節(jié)點集（Children）
當一個節(jié)點的入邊來自另一個節(jié)點時，我們稱前者是后者的子節(jié)點，同一個節(jié)點的所有子節(jié)點構(gòu)成子節(jié)點集。在圖 2 中，節(jié)點log/,spool/,yp/構(gòu)成節(jié)點var/的子節(jié)點集。

父節(jié)點（Parent）
一個節(jié)點是它出邊所連接的所有節(jié)點的父節(jié)點。在圖 2 中，節(jié)點var/是節(jié)點log/,spool/,yp/的父節(jié)點。

兄弟節(jié)點（Sibling）
同一個節(jié)點的所有子節(jié)點互為兄弟節(jié)點，在文件系統(tǒng)樹中節(jié)點etc/和節(jié)點usr/是兄弟節(jié)點。

子樹（Subtree）
子樹是一個父節(jié)點的某個子節(jié)點的所有邊和后代節(jié)點所構(gòu)成的集合。

葉節(jié)點（Leaf Node）
沒有子節(jié)點的節(jié)點成為稱為葉節(jié)點。例如圖 1 中的“人”和“黑猩猩”就是葉節(jié)點。

層數(shù)（Level）
一個節(jié)點的層數(shù)是指從根節(jié)點到該節(jié)點的路徑中的邊的數(shù)目。例如，圖 1 中“貓屬”的層數(shù)是 5，定義根節(jié)點的層數(shù)為 0。

高度（Height）
樹的高度等于所有節(jié)點的層數(shù)的最大值。圖 2 中樹的高度為 2。

我們已經(jīng)定義好所需的術(shù)語了，現(xiàn)在可以正式定義樹了。我們將用兩種方式定義，一種需要用到節(jié)點和邊，而另一種更為有效的定義方式是利用遞歸定義。

定義一：樹是節(jié)點和連接節(jié)點的邊的集合，它有以下特征：

有一個節(jié)點被設(shè)計為根節(jié)點。

除了根節(jié)點的每一個節(jié)點 n，都通過一條邊與它唯一的父節(jié)點相連。

可以沿著唯一的路徑從根節(jié)點到每個節(jié)點。

如果這個樹的每個節(jié)點都至多有兩個子節(jié)點，我們稱它為二叉樹。

圖 4 展示了一個符合定義一的樹。每條邊的箭頭指出了連接的方向。

圖 4 ：由節(jié)點和邊構(gòu)成的樹

定義二：每個樹或者為空，或者包含一個根節(jié)點和 0 個或多個子樹，其中每個子樹也符合這樣的定義。每個子樹的根節(jié)點和其父樹的根節(jié)點之間通過邊相連。圖 5 描繪了這種遞歸定義的樹。通過這種樹的遞歸定義，我們知道圖 5 中的樹至少有 4 個節(jié)點，因為每個三角形所代表的子樹必須有根。它也可能有更多的節(jié)點，但我們需要更深入的了解這棵樹來得到答案。

圖 5 ：遞歸法定義的樹