摘要：程序員小吳打算使用動(dòng)畫的形式來幫助理解遞歸，然后通過遞歸的概念延伸至理解動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法思想。因此，分治策略一般用來解決子問題相互對(duì)立的問題，稱為標(biāo)準(zhǔn)分治，而動(dòng)態(tài)規(guī)劃用來解決子問題重疊的問題。難點(diǎn)就在于找出動(dòng)態(tài)規(guī)劃中的這三個(gè)概念。

在學(xué)習(xí)「數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法」的過程中，因?yàn)槿肆?xí)慣了平鋪直敘的思維方式，所以「遞歸」與「動(dòng)態(tài)規(guī)劃」這種帶循環(huán)概念（繞來繞去）的往往是相對(duì)比較難以理解的兩個(gè)抽象知識(shí)點(diǎn)。

程序員小吳打算使用動(dòng)畫的形式來幫助理解「遞歸」，然后通過「遞歸」的概念延伸至理解「動(dòng)態(tài)規(guī)劃」算法思想。

先下定義：遞歸算法是一種直接或者間接調(diào)用自身函數(shù)或者方法的算法。

通俗來說，遞歸算法的實(shí)質(zhì)是把問題分解成規(guī)?？s小的同類問題的子問題，然后遞歸調(diào)用方法來表示問題的解。它有如下特點(diǎn)：

一個(gè)問題的解可以分解為幾個(gè)子問題的解

這個(gè)問題與分解之后的子問題，除了數(shù)據(jù)規(guī)模不同，求解思路完全一樣

存在遞歸終止條件，即必須有一個(gè)明確的遞歸結(jié)束條件，稱之為遞歸出口

通過動(dòng)畫一個(gè)一個(gè)特點(diǎn)來進(jìn)行分析。

子問題就是相對(duì)與其前面的問題數(shù)據(jù)規(guī)模更小的問題。

在動(dòng)圖中①號(hào)問題（一塊大區(qū)域）劃分為②號(hào)問題，②號(hào)問題由兩個(gè)子問題（兩塊中區(qū)域）組成。

「①號(hào)劃分為②號(hào)」與「②號(hào)劃分為③號(hào)」的邏輯是一致的，求解思路是一樣的。

把問題分解為子問題，把子問題再分解為子子問題，一層一層分解下去，不能存在無限循環(huán)，這就需要有終止條件。

①號(hào)劃分為②號(hào)，②號(hào)劃分為③號(hào)，③號(hào)劃分為④號(hào)，劃分到④號(hào)的時(shí)候每個(gè)區(qū)域只有一個(gè)不能劃分的問題，這就表明存在遞歸終止條件。

Sum(arr[0...n-1]) = arr[0] + Sum(arr[1...n-1])

后面的 Sum 函數(shù)要解決的就是比前一個(gè) Sum 更小的同一問題。

Sum(arr[1...n-1]) = arr[1] + Sum(arr[2...n-1])

以此類推，直到對(duì)一個(gè)空數(shù)組求和，空數(shù)組和為 0 ，此時(shí)變成了最基本的問題。

Sum(arr[n-1...n-1] ) = arr[n-1] + Sum([])

漢諾塔（Hanoi Tower）問題也是一個(gè)經(jīng)典的遞歸問題，該問題描述如下：

漢諾塔問題：古代有一個(gè)梵塔，塔內(nèi)有三個(gè)座A、B、C，A座上有64個(gè)盤子，盤子大小不等，大的在下，小的在上。有一個(gè)和尚想把這個(gè)盤子從A座移到B座，但每次只能允許移動(dòng)一個(gè)盤子，并且在移動(dòng)過程中，3個(gè)座上的盤子始終保持大盤在下，小盤在上。

① 如果只有 1 個(gè)盤子，則不需要利用 B 塔，直接將盤子從 A 移動(dòng)到 C 。

② 如果有 2 個(gè)盤子，可以先將盤子 2 上的盤子 1 移動(dòng)到 B ；將盤子 2 移動(dòng)到 C ；將盤子 1 移動(dòng)到 C 。這說明了：可以借助 B 將 2 個(gè)盤子從 A 移動(dòng)到 C ，當(dāng)然，也可以借助 C 將 2 個(gè)盤子從 A 移動(dòng)到 B 。

③ 如果有 3 個(gè)盤子，那么根據(jù) 2 個(gè)盤子的結(jié)論，可以借助 C 將盤子 3 上的兩個(gè)盤子從 A 移動(dòng)到 B ；將盤子 3 從 A 移動(dòng)到 C ，A 變成空座；借助 A 座，將 B 上的兩個(gè)盤子移動(dòng)到 C 。

④ 以此類推，上述的思路可以一直擴(kuò)展到 n 個(gè)盤子的情況，將將較小的 n-1個(gè)盤子看做一個(gè)整體，也就是我們要求的子問題，以借助 B 塔為例，可以借助空塔 B 將盤子A上面的 n-1 個(gè)盤子從 A 移動(dòng)到 B ；將A 最大的盤子移動(dòng)到 C ， A 變成空塔；借助空塔 A ，將 B 塔上的 n-2 個(gè)盤子移動(dòng)到 A，將 C 最大的盤子移動(dòng)到 C， B 變成空塔。。。

問題描述：

一個(gè)人爬樓梯，每次只能爬1個(gè)或2個(gè)臺(tái)階，假設(shè)有n個(gè)臺(tái)階，那么這個(gè)人有多少種不同的爬樓梯方法？

先從簡(jiǎn)單的開始，以 4 個(gè)臺(tái)階為例，可以通過每次爬 1 個(gè)臺(tái)階爬完樓梯：

可以通過先爬 2 個(gè)臺(tái)階，剩下的每次爬 1 個(gè)臺(tái)階爬完樓梯

在這里，可以思考一下：可以根據(jù)第一步的走法把所有走法分為兩類：

① 第一類是第一步走了 1 個(gè)臺(tái)階

② 第二類是第一步走了 2 個(gè)臺(tái)階

所以 n 個(gè)臺(tái)階的走法就等于先走 1 階后，n-1 個(gè)臺(tái)階的走法 ，然后加上先走 2 階后，n-2 個(gè)臺(tái)階的走法。

用公式表示就是：

 f(n) = f(n-1)+f(n-2)  

有了遞推公式，遞歸代碼基本上就完成了一半。那么接下來考慮遞歸終止條件。

當(dāng)有一個(gè)臺(tái)階時(shí)，我們不需要再繼續(xù)遞歸，就只有一種走法。

所以 f(1)=1。

通過用 n = 2，n = 3 這樣比較小的數(shù)試驗(yàn)一下后發(fā)現(xiàn)這個(gè)遞歸終止條件還不足夠。

n = 2 時(shí)，f(2) = f(1) + f(0)。如果遞歸終止條件只有一個(gè) f(1) = 1，那 f(2) 就無法求解，遞歸無法結(jié)束。
所以除了 f(1) = 1 這一個(gè)遞歸終止條件外，還要有 f(0) = 1，表示走 0 個(gè)臺(tái)階有一種走法，從思維上以及動(dòng)圖上來看，這顯得的有點(diǎn)不符合邏輯。所以為了便于理解，把 f(2) = 2 作為一種終止條件，表示走 2 個(gè)臺(tái)階，有兩種走法，一步走完或者分兩步來走。

總結(jié)如下：

① 假設(shè)只有一個(gè)臺(tái)階，那么只有一種走法，那就是爬 1 個(gè)臺(tái)階

② 假設(shè)有兩個(gè)個(gè)臺(tái)階，那么有兩種走法，一步走完或者分兩步來走

通過遞歸條件：

f(1) = 1;
f(2) = 2;
f(n) = f(n-1)+f(n-2)

很容易推導(dǎo)出遞歸代碼：

int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  return f(n-1) + f(n-2);
}

通過上述三個(gè)示例，總結(jié)一下如何寫遞歸代碼：

1.找到如何將大問題分解為小問題的規(guī)律

2.通過規(guī)律寫出遞推公式

3.通過遞歸公式的臨界點(diǎn)推敲出終止條件

4.將遞推公式和終止條件翻譯成代碼

介紹動(dòng)態(tài)規(guī)劃之前先介紹一下分治策略（Divide and Conquer）。

將原問題分解為若干個(gè)規(guī)模較小但類似于原問題的子問題（Divide），「遞歸」的求解這些子問題（Conquer），然后再合并這些子問題的解來建立原問題的解。

因?yàn)樵谇蠼獯髥栴}時(shí)，需要遞歸的求小問題，因此一般用「遞歸」的方法實(shí)現(xiàn)，即自頂向下。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃其實(shí)和分治策略是類似的，也是將一個(gè)原問題分解為若干個(gè)規(guī)模較小的子問題，遞歸的求解這些子問題，然后合并子問題的解得到原問題的解。
區(qū)別在于這些子問題會(huì)有重疊，一個(gè)子問題在求解后，可能會(huì)再次求解，于是我們想到將這些子問題的解存儲(chǔ)起來，當(dāng)下次再次求解這個(gè)子問題時(shí)，直接拿過來就是。
其實(shí)就是說，動(dòng)態(tài)規(guī)劃所解決的問題是分治策略所解決問題的一個(gè)子集，只是這個(gè)子集更適合用動(dòng)態(tài)規(guī)劃來解決從而得到更小的運(yùn)行時(shí)間。
即用動(dòng)態(tài)規(guī)劃能解決的問題分治策略肯定能解決，只是運(yùn)行時(shí)間長(zhǎng)了。因此，分治策略一般用來解決子問題相互對(duì)立的問題，稱為標(biāo)準(zhǔn)分治，而動(dòng)態(tài)規(guī)劃用來解決子問題重疊的問題。

與「分治策略」「動(dòng)態(tài)規(guī)劃」概念接近的還有「貪心算法」「回溯算法」，由于篇幅限制，程序員小吳就不在這進(jìn)行展開，在后續(xù)的文章中將分別詳細(xì)的介紹「貪心算法」、「回溯算法」、「分治算法」，敬請(qǐng)關(guān)注：）

將「動(dòng)態(tài)規(guī)劃」的概念關(guān)鍵點(diǎn)抽離出來描述就是這樣的：

1.動(dòng)態(tài)規(guī)劃法試圖只解決每個(gè)子問題一次

2.一旦某個(gè)給定子問題的解已經(jīng)算出，則將其記憶化存儲(chǔ)，以便下次需要同一個(gè)子問題解之時(shí)直接查表。

還是以 爬臺(tái)階 為例，如果以遞歸的方式解決的話，那么這種方法的時(shí)間復(fù)雜度為O(2^n)，具體的計(jì)算可以查看筆者之前的文章 《冰與火之歌：時(shí)間復(fù)雜度與空間復(fù)雜度》。

相同顏色代表著 爬臺(tái)階問題 在遞歸計(jì)算過程中重復(fù)計(jì)算的部分。

通過圖片可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象，我們是 自頂向下 的進(jìn)行遞歸運(yùn)算，比如：f(n) 是f(n-1)與f(n-2)相加，f(n-1) 是f(n-2)與f(n-3)相加。

思考一下：如果反過來，采取自底向上，用迭代的方式進(jìn)行推導(dǎo)會(huì)怎么樣了？

下面通過表格來解釋 f(n)自底向上的求解過程。

表格的第一行代表了樓梯臺(tái)階的數(shù)目，第二行代表了若干臺(tái)階對(duì)應(yīng)的走法數(shù)。
其中f(1) = 1 和 f(2) = 2是前面明確的結(jié)果。

第一次迭代，如果臺(tái)階數(shù)為 3 ，那么走法數(shù)為 3 ，通過 f(3) = f(2) + f(1)得來。

第二次迭代，如果臺(tái)階數(shù)為 4 ，那么走法數(shù)為 5 ，通過 f(4) = f(3) + f(2)得來。

由此可見，每一次迭代過程中，只需要保留之前的兩個(gè)狀態(tài)，就可以推到出新的狀態(tài)。

show me the code

int f(int n) {
    if (n == 1) return 1;
    if (n == 2) return 2;
    // a 保存倒數(shù)第二個(gè)子狀態(tài)數(shù)據(jù)，b 保存倒數(shù)第一個(gè)子狀態(tài)數(shù)據(jù)， temp 保存當(dāng)前狀態(tài)的數(shù)據(jù)
    int a = 1, b = 2;
    int temp = a + b;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        temp = a + b;
        a = b;
        b = temp; 
    }
    return temp; 
}

程序從 i = 3 開始迭代，一直到 i = n 結(jié)束。每一次迭代，都會(huì)計(jì)算出多一級(jí)臺(tái)階的走法數(shù)量。迭代過程中只需保留兩個(gè)臨時(shí)變量 a 和 b ，分別代表了上一次和上上次迭代的結(jié)果。為了便于理解，引入了temp變量。temp代表了當(dāng)前迭代的結(jié)果值。

看一看出，事實(shí)上并沒有增加太多的代碼，只是簡(jiǎn)單的進(jìn)行了優(yōu)化，時(shí)間復(fù)雜度便就降為O(n)，而空間復(fù)雜度也變?yōu)镺(1)，這，就是「動(dòng)態(tài)規(guī)劃」的強(qiáng)大！

「動(dòng)態(tài)規(guī)劃」中包含三個(gè)重要的概念：

【最優(yōu)子結(jié)構(gòu)】

【邊界】

【狀態(tài)轉(zhuǎn)移公式】

在「 爬臺(tái)階問題 」中

f(10) = f(9) + f(8) 是【最優(yōu)子結(jié)構(gòu)】  
f(1) 與 f(2) 是【邊界】   
f(n) = f(n-1) + f(n-2) 【狀態(tài)轉(zhuǎn)移公式】

「 爬臺(tái)階問題 」 只是動(dòng)態(tài)規(guī)劃中相對(duì)簡(jiǎn)單的問題，因?yàn)樗挥幸粋€(gè)變化維度，如果涉及多個(gè)維度的話，那么問題就變得復(fù)雜多了。

難點(diǎn)就在于找出 「動(dòng)態(tài)規(guī)劃」中的這三個(gè)概念。

比如「 國(guó)王和金礦問題 」。

有一個(gè)國(guó)家發(fā)現(xiàn)了 5 座金礦，每座金礦的黃金儲(chǔ)量不同，需要參與挖掘的工人數(shù)也不同。參與挖礦工人的總數(shù)是 10 人。每座金礦要么全挖，要么不挖，不能派出一半人挖取一半金礦。要求用程序求解出，要想得到盡可能多的黃金，應(yīng)該選擇挖取哪幾座金礦？

找出 「動(dòng)態(tài)規(guī)劃」中的這三個(gè)概念

國(guó)王和金礦問題中的【最優(yōu)子結(jié)構(gòu)】

國(guó)王和金礦問題中的【最優(yōu)子結(jié)構(gòu)】有兩個(gè)：

① 4 金礦 10 工人的最優(yōu)選擇

② 4 金礦 （10 - 5） 工人的最優(yōu)選擇

4 金礦的最優(yōu)選擇與 5 金礦的最優(yōu)選擇之間的關(guān)系是

MAX[（4 金礦 10 工人的挖金數(shù)量），（4 金礦 5 工人的挖金數(shù)量 + 第 5 座金礦的挖金數(shù)量）]

國(guó)王和金礦問題中的【邊界】

國(guó)王和金礦問題中的【邊界】 有兩個(gè)：

① 當(dāng)只有 1 座金礦時(shí)，只能挖這座唯一的金礦，得到的黃金數(shù)量為該金礦的數(shù)量

② 當(dāng)給定的工人數(shù)量不夠挖 1 座金礦時(shí)，獲取的黃金數(shù)量為 0

國(guó)王和金礦問題中的【狀態(tài)轉(zhuǎn)移公式】

我們把金礦數(shù)量設(shè)為 N，工人數(shù)設(shè)為 W，金礦的黃金量設(shè)為數(shù)組G[]，金礦的用工量設(shè)為數(shù)組P[]，得到【狀態(tài)轉(zhuǎn)移公式】：
?

邊界值：F(n,w) = 0 (n <= 1, w < p[0])

F(n,w) = g[0] (n==1, w >= p[0])

F(n,w) = F(n-1,w) (n > 1, w < p[n-1])

F(n,w) = max(F(n-1,w), F(n-1,w-p[n-1]) + g[n-1]) (n > 1, w >= p[n-1])

先通過幾幅動(dòng)畫來理解 「工人」 與 「金礦」 搭配的方式

1.只挖第一座金礦

在只挖第一座金礦前面兩個(gè)工人挖礦收益為 零，當(dāng)有三個(gè)工人時(shí)，才開始產(chǎn)生收益為 200，而后即使增加再多的工人收益不變，因?yàn)橹挥幸蛔鸬V可挖。

2.挖第一座與第二座金礦

在第一座與第二座金礦這種情況中，前面兩個(gè)工人挖礦收益為 零，因?yàn)?W < 3,所以F(N,W) = F(N-1,W) = 0。

當(dāng)有 三 個(gè)工人時(shí)，將其安排挖第 一 個(gè)金礦，開始產(chǎn)生收益為 200。

當(dāng)有 四 個(gè)工人時(shí)，挖礦位置變化，將其安排挖第 二 個(gè)金礦，開始產(chǎn)生收益為 300。

當(dāng)有 五、六 個(gè)工人時(shí)，由于多于 四 個(gè)工人的人數(shù)不足以去開挖第 一 座礦，因此收益還是為 300。

當(dāng)有 七 個(gè)工人時(shí)，可以同時(shí)開采第 一 個(gè)和第 二 個(gè)金礦，開始產(chǎn)生收益為 500。

3.挖前三座金礦

這是「國(guó)王和金礦」 問題中最重要的一個(gè)動(dòng)畫之一，可以多看幾遍

4.挖前四座金礦

這是「國(guó)王和金礦」 問題中最重要的一個(gè)動(dòng)畫之一，可以多看幾遍

仔細(xì)觀察上面的幾組動(dòng)畫可以發(fā)現(xiàn)：

對(duì)比「挖第一座與第二座金礦」和「挖前三座金礦」，在「挖前三座金礦」中，3 金礦 7 工人的挖礦收益，來自于 2 金礦 7 工人和 2 金礦 4 工人的結(jié)果，Max(500,300 + 350) = 650；

對(duì)比「挖前三座金礦」和「挖前四座金礦」，在「挖前四座金礦」中，4 金礦 10 工人的挖礦收益，來自于 3 金礦 10 工人和 3 金礦 5 工人的結(jié)果，Max(850,400 + 300) = 850；

代碼來源：https://www.cnblogs.com/SDJL/archive/2008/08/22/1274312.html

//maxGold[i][j] 保存了i個(gè)人挖前j個(gè)金礦能夠得到的最大金子數(shù)，等于 -1 時(shí)表示未知
int maxGold[max_people][max_n];

int GetMaxGold(int people, int mineNum){
    int retMaxGold;                            //聲明返回的最大金礦數(shù)量
    //如果這個(gè)問題曾經(jīng)計(jì)算過
    if(maxGold[people][mineNum] != -1){
        retMaxGold = maxGold[people][mineNum]; //獲得保存起來的值
    }else if(mineNum == 0) {                   //如果僅有一個(gè)金礦時(shí) [ 對(duì)應(yīng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃中的"邊界"]
        if(people >= peopleNeed[mineNum])      //當(dāng)給出的人數(shù)足夠開采這座金礦
            retMaxGold = gold[mineNum];        //得到的最大值就是這座金礦的金子數(shù)
        else                                   //否則這唯一的一座金礦也不能開采
            retMaxGold = 0;                    //得到的最大值為 0 個(gè)金子
    }else if(people >= peopleNeed[mineNum])    // 如果人夠開采這座金礦[對(duì)應(yīng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃中的"最優(yōu)子結(jié)構(gòu)"]
    {
        //考慮開采與不開采兩種情況，取最大值
        retMaxGold = max(
                         GetMaxGold(people - peopleNeed[mineNum],mineNum - 1) + gold[mineNum],
                         GetMaxGold(people,mineNum - 1)
                         );
    }else//否則給出的人不夠開采這座金礦 [ 對(duì)應(yīng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃中的"最優(yōu)子結(jié)構(gòu)"]
    {
        retMaxGold = GetMaxGold(people,mineNum - 1);     //僅考慮不開采的情況
        maxGold[people][mineNum] = retMaxGold;
    }
    return retMaxGold;
}

希望通過這篇文章，大家能對(duì)「遞歸」與「動(dòng)態(tài)規(guī)劃」有一定的理解。后續(xù)將以「動(dòng)態(tài)規(guī)劃」為基礎(chǔ)研究多重背包算法、迪杰特斯拉算法等更高深的算法問題，同時(shí)「遞歸」的更多概念也會(huì)在「分治算法」章節(jié)再次延伸，敬請(qǐng)對(duì)程序員小吳保持關(guān)注：）