非對(duì)稱(chēng)算法之RSA

kycool 發(fā)布于2019-06-27 18:11 / 1356人閱讀

摘要：找到一個(gè)正向容易，逆向很難的公式設(shè)都是已知的正整數(shù)，在知道的情況下計(jì)算容易，而只有推算很難這里得介紹一個(gè)公式記作求中與互素的數(shù)的個(gè)數(shù)如在中，，，，與互素，所以考慮為質(zhì)數(shù)，則因?yàn)槿糍|(zhì)因數(shù)分解所以因?yàn)榕c互素有以下公式結(jié)合起來(lái)可以得到私鑰可

找到一個(gè)正向容易，逆向很難的公式

$$ m^{x} equiv ypmod n$$

設(shè)$m$,$n$都是已知的正整數(shù)，在知道$x$的情況下計(jì)算$y$容易，而只有$y$推算$x$很難

這里得介紹一個(gè)公式
phi function 記作 φ

φ(n) $ 求 1~n 中與 n互素的數(shù)的個(gè)數(shù)

如 φ(8) 在1,2,3,4,5,6,7中，1，3，5，7與8互素，所以 φ(8)= 4

考慮 n為質(zhì)數(shù)，則 φ(n) = n -1

因?yàn)?br>$$ phi(A*B) = phi(A) * phi(B) $$

若 N = P1 * P2 (質(zhì)因數(shù)分解)
所以 $$ phi(N) = (P1-1) * (P2-1) $$

因?yàn)閙與n互素, 有以下公式
$$ m^{phi(n)} equiv 1 pmod n $$

結(jié)合起來(lái)可以得到

$$ m^{k*φ(n)+1} equiv m pmod n $$

私鑰可以寫(xiě)成

$$ e*d = k*φ(n)+1 $$
$$ d = frac {k*φ(n)+1} {e} $$

舉例
m = 89
p1 = 53
p2 = 59
n= 53*59 = 3127
φ(n) = 52*58 = 3016
e = 3 (必須為奇數(shù)，且不與φ(n)具體公因數(shù))
私鑰
$$ d = frac {k*phi(n)+1} e = frac {2*3016+1} 3 = 2011 $$

只公開(kāi)n和e
n = 3127
e = 3

加密過(guò)程

m的e次方 mod n 生成密文 c
$$ c = 89^3 mod 3127 = 1394 $$

解密過(guò)程

$$ c ^d mod n = 1394^{2011} mod 3127 = 89 $$

破解
因?yàn)橹槐┞? c, n ，要得到d的話(huà)，就得解出 k*φ(n)+1，也就是φ(n),這個(gè)就回到最前面的公式，很難。

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