摘要：很容易看出，前綴最壞情況下的查找也快過二叉搜索樹。這種壓縮后的被喚作前綴壓縮，或直接叫前綴樹，字典樹。最長(zhǎng)公共前綴和的最長(zhǎng)公共前綴是，遍歷字典樹到字母時(shí)，此時(shí)這些單詞的公共前綴是。

前綴Trie, 又叫字符Tire, trie來自單詞retrieval, 一開始念作tree，后來改念try， 畢竟它與樹是不一樣的東西。網(wǎng)上許多文章都搞混了trie與樹。 trie是通過”邊“來儲(chǔ)存字符的一種樹狀結(jié)構(gòu)，所謂邊就是節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)間的連接。trie每條邊只能存放一個(gè)字符。

它與hash樹很相似，或者說它是哈希樹的變種，哈希樹是用邊來存放一個(gè)整數(shù)（可以是一位數(shù)或兩位數(shù)）。前樹Tire與哈希樹都是多叉樹，換言之，父節(jié)點(diǎn)有N個(gè)子節(jié)點(diǎn)。

前綴Tire主要用于字符串的快速檢索，查詢效率比哈希表高。

前綴Trie的核心思想是空間換時(shí)間。利用字符串的公共前綴來降低查詢時(shí)間的開銷以達(dá)到提高效率的目的。

前綴Trie樹也有它的缺點(diǎn), 假定我們只對(duì)字母與數(shù)字進(jìn)行處理，那么每個(gè)節(jié)點(diǎn)至少有52＋10個(gè)子節(jié)點(diǎn)。為了節(jié)省內(nèi)存，我們可以用鏈表或數(shù)組。在JS中我們直接用數(shù)組，因?yàn)镴S的數(shù)組是動(dòng)態(tài)的，自帶優(yōu)化。

根節(jié)點(diǎn)不包含字符，除根節(jié)點(diǎn)外的每一個(gè)子節(jié)點(diǎn)都包含一個(gè)字符

從根節(jié)點(diǎn)到某一節(jié)點(diǎn)。路徑上經(jīng)過的字符連接起來，就是該節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的字符串

每個(gè)節(jié)點(diǎn)的所有子節(jié)點(diǎn)包含的字符都不相同

// by 司徒正美
class Trie {
  constructor() {
    this.root = new TrieNode();
  }
  isValid(str) {
    return /^[a-z1-9]+$/i.test(str);
  }
  insert(word) {
    // addWord
    if (this.isValid(word)) {
      var cur = this.root;
      for (var i = 0; i < word.length; i++) {
        var c = word.charCodeAt(i);
        c -= 48; //減少”0“的charCode
        var node = cur.edges[c];
        if (node == null) {
          var node = (cur.edges[c] = new TrieNode());
          node.value = word.charAt(i);
          node.numPass = 1; //有N個(gè)字符串經(jīng)過它
        } else {
          node.numPass++;
        }
        cur = node;
      }
      cur.isEnd = true; //檣記有字符串到此節(jié)點(diǎn)已經(jīng)結(jié)束
      cur.numEnd++; //這個(gè)字符串重復(fù)次數(shù)

      return true;
    } else {
      return false;
    }
  }
  remove(word){
      if (this.isValid(word)) {
          var cur = this.root;
          var array = [], n = word.length
          for (var i = 0; i < n; i++) {
              var c = word.charCodeAt(i);
              c = this.getIndex(c)
              var node = cur.edges[c];
              if(node){
                  array.push(node)
                  cur = node
              }else{
                  return false
              }
  
          }
          if(array.length === n){
              array.forEach(function(){
                  el.numPass--
              })
              cur.numEnd --
              if( cur.numEnd == 0){
                  cur.isEnd = false
              } 
          }
      }else{
          return false
      }
  }
  preTraversal(cb){//先序遍歷
        function preTraversalImpl(root, str, cb){  
            cb(root, str);
            for(let i = 0,n = root.edges.length; i < n; i ++){
                let node = root.edges[i];
                if(node){
                    preTraversalImpl(node, str + node.value, cb);
                }
            }
        }  
        preTraversalImpl(this.root, "", cb);
   }
  // 在字典樹中查找是否存在某字符串為前綴開頭的字符串(包括前綴字符串本身)
  isContainPrefix(word) {
    if (this.isValid(word)) {
      var cur = this.root;
      for (var i = 0; i < word.length; i++) {
        var c = word.charCodeAt(i);
        c -= 48; //減少”0“的charCode
        if (cur.edges[c]) {
          cur = cur.edges[c];
        } else {
          return false;
        }
      }
      return true;
    } else {
      return false;
    }
  }
  isContainWord(str) {
    // 在字典樹中查找是否存在某字符串(不為前綴)
    if (this.isValid(word)) {
      var cur = this.root;
      for (var i = 0; i < word.length; i++) {
        var c = word.charCodeAt(i);
        c -= 48; //減少”0“的charCode
        if (cur.edges[c]) {
          cur = cur.edges[c];
        } else {
          return false;
        }
      }
      return cur.isEnd;
    } else {
      return false;
    }
  }
  countPrefix(word) {
    // 統(tǒng)計(jì)以指定字符串為前綴的字符串?dāng)?shù)量
    if (this.isValid(word)) {
      var cur = this.root;
      for (var i = 0; i < word.length; i++) {
        var c = word.charCodeAt(i);
        c -= 48; //減少”0“的charCode
        if (cur.edges[c]) {
          cur = cur.edges[c];
        } else {
          return 0;
        }
      }
      return cur.numPass;
    } else {
      return 0;
    }
  }
  countWord(word) {
    // 統(tǒng)計(jì)某字符串出現(xiàn)的次數(shù)方法
    if (this.isValid(word)) {
      var cur = this.root;
      for (var i = 0; i < word.length; i++) {
        var c = word.charCodeAt(i);
        c -= 48; //減少”0“的charCode
        if (cur.edges[c]) {
          cur = cur.edges[c];
        } else {
          return 0;
        }
      }
      return cur.numEnd;
    } else {
      return 0;
    }
  }
}

class TrieNode {
  constructor() {
    this.numPass = 0;//有多少個(gè)單詞經(jīng)過這節(jié)點(diǎn)
    this.numEnd = 0; //有多少個(gè)單詞就此結(jié)束
    this.edges = [];
    this.value = ""; //value為單個(gè)字符
    this.isEnd = false;
  }
}

我們重點(diǎn)看一下TrieNode與Trie的insert方法。 由于字典樹是主要用在詞頻統(tǒng)計(jì)，因此它的節(jié)點(diǎn)屬性比較多, 包含了numPass, numEnd但非常重要的屬性。

insert方法是用于插入重詞，在開始之前，我們必須判定單詞是否合法，不能出現(xiàn) 特殊字符與空白。在插入時(shí)是打散了一個(gè)個(gè)字符放入每個(gè)節(jié)點(diǎn)中。每經(jīng)過一個(gè)節(jié)點(diǎn)都要修改numPass。

現(xiàn)在我們每個(gè)方法中，都有一個(gè)c=-48的操作，其實(shí)數(shù)字與大寫字母與小寫字母間其實(shí)還有其他字符的，這樣會(huì)造成無謂的空間的浪費(fèi)

// by 司徒正美
getIndex(c){
      if(c < 58){//48-57
          return c - 48
      }else if(c < 91){//65-90
          return c - 65 + 11
      }else {//> 97 
          return c - 97 + 26+ 11
      }
  }

然后相關(guān)方法將c-= 48改成c = this.getIndex(c)即可

var trie = new Trie();  
    trie.insert("I");  
    trie.insert("Love");  
    trie.insert("China");  
    trie.insert("China");  
    trie.insert("China");  
    trie.insert("China");  
    trie.insert("China");  
    trie.insert("xiaoliang");  
    trie.insert("xiaoliang");  
    trie.insert("man");  
    trie.insert("handsome");  
    trie.insert("love");  
    trie.insert("Chinaha");  
    trie.insert("her");  
    trie.insert("know");  
    var map = {}
    trie.preTraversal(function(node, str){
       if(node.isEnd){
          map[str] = node.numEnd
       }
    })
    for(var i in map){
        console.log(i+" 出現(xiàn)了"+ map[i]+" 次")
    }
    console.log("包含Chin（包括本身）前綴的單詞及出現(xiàn)次數(shù)：");  
    //console.log("China")
    var map = {}
    trie.preTraversal(function(node, str){
        if(str.indexOf("Chin") === 0 && node.isEnd){
           map[str] = node.numEnd
        }
     })
    for(var i in map){
        console.log(i+" 出現(xiàn)了"+ map[i]+" 次")
    }

二叉搜索樹應(yīng)該是我們最早接觸的樹結(jié)構(gòu)了，我們知道，數(shù)據(jù)規(guī)模為n時(shí)，二叉搜索樹插入、查找、刪除操作的時(shí)間復(fù)雜度通常只有O(log n)，最壞情況下整棵樹所有的節(jié)點(diǎn)都只有一個(gè)子節(jié)點(diǎn)，退變成一個(gè)線性表，此時(shí)插入、查找、刪除操作的時(shí)間復(fù)雜度是O(n)。

通常情況下，前綴Trie的高度n要遠(yuǎn)大于搜索字符串的長(zhǎng)度m，故查找操作的時(shí)間復(fù)雜度通常為O(m)，最壞情況下的時(shí)間復(fù)雜度才為O(n)。很容易看出，前綴Trie最壞情況下的查找也快過二叉搜索樹。

文中前綴Trie都是拿字符串舉例的，其實(shí)它本身對(duì)key的適宜性是有嚴(yán)格要求的，如果key是浮點(diǎn)數(shù)的話，就可能導(dǎo)致整個(gè)前綴Trie巨長(zhǎng)無比，節(jié)點(diǎn)可讀性也非常差，這種情況下是不適宜用前綴Trie來保存數(shù)據(jù)的；而二叉搜索樹就不存在這個(gè)問題。

? ?考慮一下Hash沖突的問題。Hash表通常我們說它的復(fù)雜度是O(1)，其實(shí)嚴(yán)格說起來這是接近完美的Hash表的復(fù)雜度，另外還需要考慮到hash函數(shù)本身需要遍歷搜索字符串，復(fù)雜度是O(m)。在不同鍵被映射到“同一個(gè)位置”（考慮closed hashing，這“同一個(gè)位置”可以由一個(gè)普通鏈表來取代）的時(shí)候，需要進(jìn)行查找的復(fù)雜度取決于這“同一個(gè)位置”下節(jié)點(diǎn)的數(shù)目，因此，在最壞情況下，Hash表也是可以成為一張單向鏈表的。

? ?前綴Trie可以比較方便地按照key的字母序來排序（整棵樹先序遍歷一次就好了），這跟絕大多數(shù)Hash表是不同的（Hash表一般對(duì)于不同的key來說是無序的）。

? ?在較理想的情況下，Hash表可以以O(shè)(1)的速度迅速命中目標(biāo)，如果這張表非常大，需要放到磁盤上的話，Hash表的查找訪問在理想情況下只需要一次即可；但是Trie樹訪問磁盤的數(shù)目需要等于節(jié)點(diǎn)深度。

? ?很多時(shí)候前綴Trie比Hash表需要更多的空間，我們考慮這種一個(gè)節(jié)點(diǎn)存放一個(gè)字符的情況的話，在保存一個(gè)字符串的時(shí)候，沒有辦法把它保存成一個(gè)多帶帶的塊。前綴Trie的節(jié)點(diǎn)壓縮可以明顯緩解這個(gè)問題，后面會(huì)講到。

原理上和普通Trie樹差不多，只不過普通Trie樹存儲(chǔ)的最小單位是字符，但是Bitwise Trie存放的是位而已。位數(shù)據(jù)的存取由CPU指令一次直接實(shí)現(xiàn)，對(duì)于二進(jìn)制數(shù)據(jù)，它理論上要比普通Trie樹快。

分支壓縮：將一些連結(jié)線與節(jié)點(diǎn)進(jìn)行合并，比如i-n-n可以合并成inn。這種壓縮后的Tire被喚作前綴壓縮Tire，或直接叫前綴樹， 字典樹。

節(jié)點(diǎn)映射表：這種方式也是在前綴Trie的節(jié)點(diǎn)可能已經(jīng)幾乎完全確定的情況下采用的，針對(duì)前綴Trie中節(jié)點(diǎn)的每一個(gè)狀態(tài)，如果狀態(tài)總數(shù)重復(fù)很多的話，通過一個(gè)元素為數(shù)字的多維數(shù)組（比如Triple Array Trie）來表示，這樣存儲(chǔ)Trie樹本身的空間開銷會(huì)小一些，雖說引入了一張額外的映射表。

前綴樹還是很好理解，它的應(yīng)用也是非常廣的。

（1）字符串的快速檢索

字典樹的查詢時(shí)間復(fù)雜度是O(logL)，L是字符串的長(zhǎng)度。所以效率還是比較高的。字典樹的效率比hash表高。

（2）字符串排序

從上圖我們很容易看出單詞是排序的，先遍歷字母序在前面。減少了沒必要的公共子串。

（3）最長(zhǎng)公共前綴

inn和int的最長(zhǎng)公共前綴是in，遍歷字典樹到字母n時(shí)，此時(shí)這些單詞的公共前綴是in。

（4）自動(dòng)匹配前綴顯示后綴

我們使用辭典或者是搜索引擎的時(shí)候，輸入appl，后面會(huì)自動(dòng)顯示一堆前綴是appl的東東吧。那么有可能是通過前綴Trie實(shí)現(xiàn)的，前面也說了前綴Trie可以找到公共前綴，我們只需要把剩余的后綴遍歷顯示出來即可。

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