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leetcode410. Split Array Largest Sum

Jonathan Shieber / 825人閱讀

摘要：在這里，邊界被設(shè)置為該數(shù)組中可以得到的子數(shù)組元素和的最小值和最大值。在確定了數(shù)組元素和的上界和下界之后，就需要找出一種方法，來不斷壓縮區(qū)間直到最后一種?？梢允褂弥虚g位置作為數(shù)組元素和的邊界，即假設(shè)所有的連續(xù)數(shù)組的和都不會超過值。

題目要求 
Given an array which consists of non-negative integers and an integer m, you can split the array into m non-empty continuous subarrays. Write an algorithm to minimize the largest sum among these m subarrays.

Note:
If n is the length of array, assume the following constraints are satisfied:

1 ≤ n ≤ 1000
1 ≤ m ≤ min(50, n)
Examples:

Input:
nums = [7,2,5,10,8]
m = 2

Output:
18

Explanation:
There are four ways to split nums into two subarrays.
The best way is to split it into [7,2,5] and [10,8],
where the largest sum among the two subarrays is only 18.

將一個長度為n的正整數(shù)數(shù)組分割為m個非空的連續(xù)子數(shù)組，并分別計算每個子數(shù)組中所有元素的和。求一種分割方式，使得該分割方式生成的最大子數(shù)組和為所有分割方式中最小的。

比如題目中的例子nums = [7,2,5,10,8]，m = 2
一共有四種分割方式：

[7], [2,5,10,8]

[7,2], [5,8,10]

[7,2,5], [8,10]

[7,2,5,8], [10]

其中第三種分割得到的最大子數(shù)組的和 是所有分割中最小的

思路一：動態(tài)規(guī)劃

首先，我們可以通過遞歸的方式來遍歷所有的分割方式，從而找到所有分割方式中最符合要求的那一種結(jié)果。代碼如下：

    public int splitArray(int[] nums, int m) {
        //計算[0...i]中所有元素的和
        int[] sums = new int[nums.length+1];
        for(int i = 1 ; i<=nums.length ; i++) {
            sums[i] = nums[i-1] + sums[i-1];
        }
        return splitArray(nums, m, 0, sums);
    }
    
    //計算從cur位置開始，將其分割為m個子數(shù)組的最小分割場景
    public int splitArray(int[] nums, int m, int cur, int[] sums) {
        if(m == 1) {
            return sums[nums.length] - sums[cur];
        }
        int min = Integer.MAX_VALUE;
        int diff = Integer.MAX_VALUE;
        for(int i = cur+1 ; i<=nums.length-m+1 ; i++) {
            //當(dāng)前元素為止，左邊的子數(shù)組的元素和
            int left = sums[i]-sums[cur];
            //對右邊的剩余元素遞歸的調(diào)用splitArray方法
            int right = splitArray(nums, m-1, i, sums);
            //如果出現(xiàn)二者之間的差遞增的情況，則說明距離最優(yōu)分割越來越遠(yuǎn)，則停止繼續(xù)嘗試
            if(diff < Math.abs(left - right)) {
                break;
            }
            diff = Math.abs(left - right);
            min = Math.min(min, Math.max(left, right));
        }
        return min;
    }

這種方法在大數(shù)據(jù)量的場景下會出現(xiàn)超時的問題，本質(zhì)在于我們沒有足夠的復(fù)用中間的所有場景，如對于[i-j]這個子數(shù)組的k次分割的最優(yōu)結(jié)果。如果我們記錄從i到數(shù)組結(jié)尾進(jìn)行k次分割的最優(yōu)結(jié)果，該結(jié)果記錄為dp[i][k]，則從j到數(shù)組結(jié)尾進(jìn)行k+1次分割的最優(yōu)結(jié)果為min(max(num(j), dp[j+1][k]), max(nums(j)+num(j+1), dp[j+2][k])... )
代碼如下：

    public int splitArray(int[] nums, int m)
    {
        int L = nums.length;
        //記錄0-i的元素和
        int[] S = new int[L+1];
        S[0]=0;
        for(int i=0; i
思路二：二分法

這是一個非常難想到的方法。二分法的難點一直在于如何劃分初始邊界，以及如何逐漸縮小邊界并且確保左右指針可以相遇。在這里，邊界被設(shè)置為該數(shù)組中可以得到的子數(shù)組元素和的最小值和最大值。
根據(jù)基本常識可知，數(shù)組的最大元素決定了該數(shù)組分割出的子數(shù)組的元素和的下界，而數(shù)組的元素和上界一定不會超過數(shù)組所有元素的和。
在確定了數(shù)組元素和的上界和下界之后， 就需要找出一種方法，來不斷壓縮區(qū)間直到最后一種。


可以使用中間位置作為數(shù)組元素和的邊界，即假設(shè)所有的連續(xù)數(shù)組的和都不會超過mid值。假如按照這種方式得到的分割結(jié)果大于了規(guī)定的m個，則說明mid值作為最大元素和上界并不能夠做到只分割出m個子數(shù)組，因此最大元素和上界一定在mid和有界中間。同理，假如按照這種方式得到的分割結(jié)果小于等于規(guī)定的m個，則說明mid值作為最大元素和上界能夠滿足分割出m個子數(shù)組，但是可能還存在更優(yōu)解。通過這種二分法思路得到的最后結(jié)果就是所需要的最小分割結(jié)果。


    public int splitArray2(int[] nums, int m) {
        long sum = 0;
        int max = Integer.MIN_VALUE;
        for(int i = 0 ; i target) {
                sum = nums[i];
                count++;
                if(count > m) {
                    return false;
                }
            }
        }
        return true;
    }

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