摘要：這種解法中，外層循環(huán)遍歷的是子字符串的中心點(diǎn)，內(nèi)層循環(huán)則是從中心擴(kuò)散，一旦不是回文就不再計(jì)算其他以此為中心的較大的字符串。

Given a string S, find the longest palindromic substring in S. You may assume that the maximum length of S is 1000, and there exists one unique longest palindromic substring.

時(shí)間 O(n^3) 空間 O(1)

暴力法就是窮舉所有子字符串的可能，然后依次按位判斷其是否是回文，并更新結(jié)果。雖然其時(shí)間復(fù)雜度很高，但它對空間的要求很低。

public class Solution {
    public String longestPalindrome(String s) {
        int maxLength = 0;
        int maxStart = 0;
        int len = s.length();
        //i是字符串長度
        for(int i = 0; i < len; i++){
            //j是字符串起始位置
            for(int j = 0; j < len - i; j++){
                //挨個(gè)判斷是否回文
                if(isPalindrome(s,i,j) && (i+1)>maxLength){
                    maxLength = i + 1;
                    maxStart = j;
                }
            }
        }
        return s.substring(maxStart,maxStart + maxLength);
    }
    
    private isPalindrome(String s, int i, int j){
        int left = j;
        int right = j + i;
        while(left
動態(tài)規(guī)劃 Dynamic Programming
復(fù)雜度
時(shí)間 O(n^2) 空間 O(n^2)
思路
根據(jù)回文的特性，一個(gè)大回文按比例縮小后的字符串也必定是回文，比如ABCCBA，那BCCB肯定也是回文。所以我們可以根據(jù)動態(tài)規(guī)劃的兩個(gè)特點(diǎn)：第一大問題拆解為小問題，第二重復(fù)利用之前的計(jì)算結(jié)果，來解答這道題。那如何劃分小問題呢，我們可以先把所有長度最短為1的子字符串計(jì)算出來，根據(jù)起始位置從左向右，這些必定是回文。然后計(jì)算所有長度為2的子字符串，再根據(jù)起始位置從左向右。到長度為3的時(shí)候，我們就可以利用上次的計(jì)算結(jié)果：如果中心對稱的短字符串不是回文，那長字符串也不是，如果短字符串是回文，那就要看長字符串兩頭是否一樣。這樣，一直到長度最大的子字符串，我們就把整個(gè)字符串集窮舉完了，但是由于使用動態(tài)規(guī)劃，使計(jì)算時(shí)間從O(N^3)減少到O(n^2)。
注意

外循環(huán)的變量控制的實(shí)際上不是字符串長度，而是字符串首到尾的增量
二維數(shù)組的第一維是指子字符串起始位置，第二維是指終止位置，所存數(shù)據(jù)表示是否回文

代碼
public class Solution {
    public String longestPalindrome(String s) {
        int maxLength = 0;
        int maxStart = 0;
        int len = s.length();
        boolean[][] dp = new boolean[len][len];
        //i是字符串長度
        for(int i = 0; i < len; i++){
            //j是字符串起始位置
            for(int j = 0; j < len - i; j++){
                if(i==0||i==1){
                    //如果字符串長度為0，必定為回文
                    dp[j][j+i] = true;
                } else if(s.charAt(j+i)==s.charAt(j)){
                    //如果左右兩端相等，那只要中心對稱子字符串是回文就是回文
                    dp[j][j+i] = dp[j+1][j+i-1];
                } else {
                    //否則不是回文
                    dp[j][j+i] = false;
                }
                if(dp[j][j+i] && i > maxLength){
                    maxLength = i + 1;
                    maxStart = j;
                }
            }
        }
        return s.substring(maxStart,maxStart + maxLength);
    }
}
中心擴(kuò)散法 Spread From Center
復(fù)雜度
時(shí)間 O(n^2) 空間 O(1)
思路
動態(tài)規(guī)劃雖然優(yōu)化了時(shí)間，但也浪費(fèi)了空間。實(shí)際上我們并不需要一直存儲所有子字符串的回文情況，我們需要知道的只是中心對稱的較小一層是否是回文。所以如果我們從小到大連續(xù)以某點(diǎn)為個(gè)中心的所有子字符串進(jìn)行計(jì)算，就能省略這個(gè)空間。 這種解法中，外層循環(huán)遍歷的是子字符串的中心點(diǎn)，內(nèi)層循環(huán)則是從中心擴(kuò)散，一旦不是回文就不再計(jì)算其他以此為中心的較大的字符串。由于中心對稱有兩種情況，一是奇數(shù)個(gè)字母以某個(gè)字母對稱，而是偶數(shù)個(gè)字母以兩個(gè)字母中間為對稱，所以我們要分別計(jì)算這兩種對稱情況。
代碼
public class Solution {
    String longest = "";
    
    public String longestPalindrome(String s) {
        for(int i = 0; i < s.length(); i++){
            //計(jì)算奇數(shù)子字符串
            helper(s, i, 0);
            //計(jì)算偶數(shù)子字符串
            helper(s, i, 1);
        }
        return longest;
    }
    
    private void helper(String s, int idx, int offset){
        int left = idx;
        int right = idx + offset;
        while(left>=0 && right longest.length()){
            longest = currLongest;
        }
    }
}

2018/2
class Solution:
    def longestPalindrome(self, s):
        """
        :type s: str
        :rtype: str
        """
        maxStr = ""
        for index in range(0, len(s)):
            sub1 = self.spreadFromCenter(s, index, 0)
            sub2 = self.spreadFromCenter(s, index, 1)
            if len(sub1) > len(maxStr):
                maxStr = sub1
            if len(sub2) > len(maxStr):
                maxStr = sub2
        return maxStr
        
    def spreadFromCenter(self, string, centerIndex, offset):
        leftIndex = centerIndex
        rightIndex = centerIndex + offset
        length = len(string)
        while leftIndex >= 0 and rightIndex < length and string[leftIndex] == string[rightIndex]:
            leftIndex = leftIndex - 1
            rightIndex = rightIndex + 1
        leftIndex = leftIndex + 1
        substring = string[leftIndex:rightIndex]
        return substring
馬拉車算法 Manacher Algorithm
復(fù)雜度
時(shí)間 O(n) 空間 O(n)
關(guān)于時(shí)間復(fù)雜度的證明：http://www.zhihu.com/question...
思路
Manacher算法是非常經(jīng)典的計(jì)算連續(xù)下標(biāo)回文的算法。它利用了回文的對稱性，更具體的來說，是回文內(nèi)回文的對稱性，來解決這個(gè)問題。
參見：http://www.felix021.com/blog/...
代碼
public class Solution {
    public String longestPalindrome(String s) {
        if(s.length()<=1){
            return s;
        }
        // 預(yù)處理字符串，避免奇偶問題
        String str = preProcess(s);
        // idx是當(dāng)前能夠向右延伸的最遠(yuǎn)的回文串中心點(diǎn)，隨著迭代而更新
        // max是當(dāng)前最長回文串在總字符串中所能延伸到的最右端的位置
        // maxIdx是當(dāng)前已知的最長回文串中心點(diǎn)
        // maxSpan是當(dāng)前已知的最長回文串向左或向右能延伸的長度
        int idx = 0, max = 0;
        int maxIdx = 0;
        int maxSpan = 0;
        int[] p = new int[str.length()];
        for(int curr = 1; curr < str.length(); curr++){
            // 找出當(dāng)前下標(biāo)相對于idx的對稱點(diǎn)
            int symmetryOfCurr = 2 * idx - curr;
            // 如果當(dāng)前已知延伸的最右端大于當(dāng)前下標(biāo)，我們可以用對稱點(diǎn)的P值，否則記為1等待檢查
            p[curr] = max > curr? Math.min(p[symmetryOfCurr], max - curr):1;
            // 檢查并更新當(dāng)前下標(biāo)為中心的回文串最遠(yuǎn)延伸的長度
            while((curr+p[curr])max){
                max = p[curr] + curr;
                idx = curr;
            }
            // 檢查并更新當(dāng)前已知的最長回文串信息
            if(p[curr]>maxSpan){
                maxSpan = p[curr];
                maxIdx = curr;
            }
        }
        //去除占位符
        return s.substring((maxIdx-maxSpan)/2,(maxSpan+maxIdx)/2-1);
    }
    
    private String preProcess(String s){
        // 如ABC,變?yōu)?#A#B#C#
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        sb.append("$");
        for(int i = 0; i < s.length(); i++){
            sb.append("#");
            sb.append(s.charAt(i));
        }
        sb.append("#");
        return sb.toString();
    }
}
后續(xù) Follow Up
Q：如果只能在頭或尾刪，問最少刪多少字符能使得該字符串變?yōu)榛匚模?br>A：就是找到最長回文串，然后把長度減一下就行了。