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算法設(shè)計 - 尋找一個字符串的重復(fù)子串LRS

shleyZ / 3028人閱讀

摘要：后綴數(shù)組最典型的是尋找一個字符串的重復(fù)子串字符串大小比較字符串大小比較是指字典順序，也就是對于兩個字符串。注意，在語言中，后綴數(shù)組記錄的也就是數(shù)組中的元素是一個字符指針，指向的是一個子串的起始字符。

雖是讀書筆記，但是如轉(zhuǎn)載請注明出處 http://segmentfault.com/blog/exploring/
.. 拒絕伸手復(fù)制黨

問題描述：

首先這是一個單字符串問題。子字符串 R 在字符串 L 中至少出現(xiàn)兩次，則稱 R 是 L 的重復(fù)子串。比如字符串abcdeabcd的LRS的長度是2，LRS是abcd

Longest Repeated Substring in GEEKSFORGEEKS is: GEEKS
Longest Repeated Substring in AAAAAAAAAA is: AAAAAAAAA
Longest Repeated Substring in ABCDEFG is: No repeated substring
Longest Repeated Substring in ABABABA is: ABABA
Longest Repeated Substring in ATCGATCGA is: ATCGA
Longest Repeated Substring in banana is: ana
Longest Repeated Substring in abcpqrabpqpq is: ab (pq is another LRS here)
一些定義：

后綴：后綴是指從某個位置i 開始到整個串末尾結(jié)束的一個特殊子串。字符串r 的從第i 個字符開始的后綴表示為Suffix(i)，也就是Suffix(i)=r[i..len(r)]。

后綴數(shù)組：后綴數(shù)組SA 是一個一維數(shù)組，它保存1..n 的某個排列SA[1]，SA[2]，...，SA[n]，并且保證Suffix(SA[i]) < Suffix(SA[i+1])，1≤i
也就是將S 的n 個后綴從小到大進行排序之后把排好序的后綴的開頭位置順次放入SA 中。
后綴數(shù)組最典型的是尋找一個字符串的重復(fù)子串

字符串大小比較： 字符串大小比較是指“字典順序”，也就是對于兩個字符串u、v。
令i 從1 開始順次比較u[i]和v[i]，如果u[i]=v[i]則令i 加1，否則若u[i]v[i]則認(rèn)為u>v（也就是vlen(u)或者i>len(v)仍比較不出結(jié)果，那么若len(u)v。

方法1 ：

O(n^3) 直接子串和子串比較，查看所有字符串
比如 字符串 abcdabd, 先遍歷第一個元素a,從第二個開始找，找到某個跟他一樣的，開始游標(biāo)k++,j++...然后記錄相等子串長度；然后遍歷第二個元素b開始...


public class LRS {
    private static int statLen(String X, int k, int j) {
        int cur_len = 0;

        while(k

方法2


使用后綴數(shù)組降低時間復(fù)雜度為O(n^2)

后綴數(shù)組的定義：一個字符數(shù)組，定義了一個字符串每個后綴子串的起始地址，如下圖是banana這個字符串的后綴數(shù)組：





可以使用Treeset 保存后綴數(shù)組的String們..


算法的主要思想



利用后綴數(shù)組實現(xiàn)記錄下來所有可能子串的起始地址，(用后綴數(shù)組的好處就是把所有起始位置相同的字符都放一起，就不用移動第二個指針 來找哪些字符與第一個指針指向的字符相同了 降低了一個n的維度的復(fù)雜度)


然后利用排序，把起始地址一致的字符放在一起：

這樣就簡化了暴力法當(dāng)中通過移動j來控制下一個相同元素的過程，（也就是少了一層循環(huán)，同利用后綴數(shù)組的好處）因為相同的字符被放在了相鄰的位置，對以后綴數(shù)組的元素開始的子串兩兩比較就知道了重復(fù)子串的長度。


For example



比如上面那個banana例子，對banana的一次循環(huán)遍歷，得到后綴數(shù)組如上圖所示.


然后對其排序，我們就得到了:






這時候，遍歷后綴數(shù)組，每相鄰的子串就按照（下第二個圖comlen函數(shù)）的方法，計算兩個子串的公共長度。注意，在C++語言中，后綴數(shù)組記錄的（也就是數(shù)組中的元素）是一個字符指針，指向的是一個子串的起始字符。Java語言沒有指針，實現(xiàn)起來可能比較麻煩，看到別人的一種實現(xiàn)方式是利用Treeset，直接記錄所有后綴數(shù)組對應(yīng)的子串，但是感覺空間開銷太大。





復(fù)雜度分析：


第一次遍歷原始數(shù)組，得到后綴數(shù)組的復(fù)雜度是O（n）, 對后綴數(shù)組的排序復(fù)雜度是O(nlogn)， 計算最長重復(fù)子串，遍歷后綴數(shù)組O（n）,每兩個相鄰元素的比較O（n）, 所以復(fù)雜度是O(n)+O(nlogn)+O(n^2) = O(n^2), 比暴力法的O（n^3）復(fù)雜度小，其主要的原因就是利用后綴數(shù)組這個數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)緩存了每一個子串的起始位置，通過排序，避免了暴力法中通過j來定位的又一層循環(huán)~

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