摘要：全概率然后再看全概率公式。式子體現(xiàn)的是問(wèn)題分為兩個(gè)階段選人，分割問(wèn)題計(jì)算分割的子問(wèn)題的條件概率對(duì)應(yīng)的這里來(lái)便是選小偷，誰(shuí)去偷選定的小偷作為條件，那么他去偷的條件概率是什么所以將問(wèn)題拆解為階段的問(wèn)題便是全概率公式針對(duì)的問(wèn)題。

條件概率

首先，理解這兩個(gè)公式的前提是理解條件概率，因此先復(fù)習(xí)條件概率。

P(A|B)=P(AB)P(B)
理解這個(gè)可以從兩個(gè)角度來(lái)看。
第一個(gè)角度：在B發(fā)生的基礎(chǔ)上，A發(fā)生的概率。那么B發(fā)生這件事已經(jīng)是個(gè)基礎(chǔ)的條件了，現(xiàn)在進(jìn)入B已經(jīng)發(fā)生的世界，看看A發(fā)生的概率是多少。那么分子就是B發(fā)生A也發(fā)生，分母就是B這個(gè)世界發(fā)生的概率了。分母如果是1，那么成了什么意思呢？

另一個(gè)角度是看韋恩圖。這里A在B發(fā)生的基礎(chǔ)上發(fā)生的概率是A和B交集的陰影部分面積占用B的比例。

那么由條件概率出發(fā)，看一下變形出來(lái)的乘法公式：
P(AB)=P(A)?P(B|A)=P(B)?P(A|B)
也可以提供上面的兩個(gè)角度來(lái)理解這個(gè)公式，雖然可以由上面的直接推導(dǎo)，但是我們認(rèn)為這是問(wèn)題的思考的不同角度，不僅僅是公式之間的運(yùn)算。

一：AB同時(shí)發(fā)生的概率是在A基礎(chǔ)上發(fā)生B的概率乘以A本身在外部發(fā)生的概率，也是B基礎(chǔ)上發(fā)生A的概率乘以B本身在外部發(fā)生的概率.
二：AB表示的是陰影部分的面積占用A或者B的比例關(guān)系。

僅僅從形式上說(shuō)，豎線后面的要在前面多乘以一個(gè)以達(dá)到平衡。

全概率

然后再看全概率公式。

一個(gè)別人舉的例子：

一個(gè)村子與三個(gè)小偷，小偷偷村子的事件兩兩互斥，求村子被偷的概率。
解釋：假設(shè)這三個(gè)小偷編號(hào)為A1,A2,A2；
偷東西的事件標(biāo)記為B,不偷的話標(biāo)記為：Bˉˉˉ
那么被偷的概率就是：要么是A1，要么是A2，要么是A3，
如果是A1, 概率是什么呢？首先得是A1,其次是村子被偷，也即是兩個(gè)事件都滿足，所以是P(A1B)
同理，可以得到P(A2B),P(A3B)
又因這三個(gè)小偷兩兩互斥，表示不會(huì)同時(shí)去偷。所以被偷的概率是：

P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)
當(dāng)然按照條件概率或者乘法公式展開(kāi)：
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) （*）

PS: P(Ai),P(B|Ai)是已知的
問(wèn)：是不是有想展開(kāi)為：

P(B)=P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)的沖動(dòng)？

當(dāng)然這個(gè)式子是沒(méi)錯(cuò)的，但是體現(xiàn)不了這個(gè)問(wèn)題的解法：分階段。

（*）式子體現(xiàn)的是問(wèn)題分為兩個(gè)階段：
1）選人，分割問(wèn)題
2）計(jì)算分割的子問(wèn)題的條件概率

對(duì)應(yīng)的這里來(lái)便是：
1）選小偷，誰(shuí)去偷
2）選定的小偷作為條件，那么他去偷的條件概率是什么

所以將問(wèn)題拆解為階段的問(wèn)題便是全概率公式針對(duì)的問(wèn)題。

貝葉斯公式

貝葉斯公式有意思極了，簡(jiǎn)單說(shuō)就是逆全概公式。

前面是問(wèn)總體看來(lái)被偷的概率是多少，現(xiàn)在是知道了總體被偷了這件事，概率并不知道，問(wèn)你個(gè)更有意思的問(wèn)題，像是偵探斷案：是哪個(gè)小偷的偷的，計(jì)算每個(gè)小偷偷的概率。

這個(gè)特性用在機(jī)器學(xué)習(xí)，人工智能領(lǐng)域相當(dāng)好用。

也就是求：P(Ai|B)=P(AiB)P(B)
Ai:小偷i干的；B:村子被偷了
首先是一個(gè)淳樸的條件概率的展開(kāi)。
分母里出現(xiàn)了P(B),剛剛討論的全概公式拿來(lái)用一用！
而P(AiB)=P(Ai)?P(B|Ai)
對(duì)應(yīng)到上面的例子就鮮活一些：村子被偷了，求Ai偷的概率。

自然現(xiàn)在條件是P(B)，分子變形為P(AiB)=P(Ai)?P(B|Ai)，是因?yàn)榧俣ň褪茿i偷的，這是一個(gè)已知的概率。
分母P(B)=∑ni=1P(Ai)P(B|Ai)
20161223 update:

除了上面的思路外，通常需要注意的是分階段意味著時(shí)間的先后。在先進(jìn)行的事件的基礎(chǔ)上進(jìn)行后面的事件，就很容易計(jì)算概率：P(AB)=P(A)P(B|A)這種。

所以當(dāng)我們需要計(jì)算先驗(yàn)概率，即先發(fā)生的時(shí)間的概率時(shí)，總是想著用上面的這個(gè)類型來(lái)計(jì)算，且是通過(guò)條件概率進(jìn)行過(guò)渡。