摘要：函數(shù)將任意維的實(shí)值向量轉(zhuǎn)換為取值范圍在之間的維實(shí)值向量，并且總和為。將原始輸入映射到區(qū)間，并且總和為，常用于表征概率。這個(gè)性質(zhì)用于保證數(shù)值的穩(wěn)定性。當(dāng)輸入一個(gè)較大的數(shù)值時(shí)，函數(shù)將會(huì)超出限制，導(dǎo)致出錯(cuò)。

softmax函數(shù)將任意n維的實(shí)值向量轉(zhuǎn)換為取值范圍在(0,1)之間的n維實(shí)值向量，并且總和為1。
例如：向量softmax([1.0, 2.0, 3.0]) ------> [0.09003057, 0.24472847, 0.66524096]

性質(zhì)：

因?yàn)閟oftmax是單調(diào)遞增函數(shù)，因此不改變?cè)紨?shù)據(jù)的大小順序。

將原始輸入映射到(0,1)區(qū)間，并且總和為1，常用于表征概率。

softmax(x) = softmax(x+c), 這個(gè)性質(zhì)用于保證數(shù)值的穩(wěn)定性。

一個(gè)最簡(jiǎn)單的計(jì)算給定向量的softmax的實(shí)現(xiàn)如下：

import numpy as np
def softmax(x):
"""Compute the softmax of vector x."""
    exp_x = np.exp(x)
    softmax_x = exp_x / np.sum(exp_x)
    return softmax_x 

讓我們來測(cè)試一下上面的代碼：

softmax([1, 2, 3])
array([0.09003057, 0.24472847, 0.66524096])

但是，當(dāng)我們嘗試輸入一個(gè)比較大的數(shù)值向量時(shí)，就會(huì)出錯(cuò)：

softmax([1000, 2000, 3000])
array([nan, nan, nan])

這是由numpy中的浮點(diǎn)型數(shù)值范圍限制所導(dǎo)致的。當(dāng)輸入一個(gè)較大的數(shù)值時(shí)，sofmax函數(shù)將會(huì)超出限制，導(dǎo)致出錯(cuò)。
為了解決這一問題，這時(shí)我們就能用到sofmax的第三個(gè)性質(zhì)，即：softmax(x) = softmax(x+c)，
一般在實(shí)際運(yùn)用中，通常設(shè)定c = - max(x)。
接下來，我們重新定義softmax函數(shù)：

import numpy as np
def softmax(x):
"""Compute the softmax in a numerically stable way."""
    x = x - np.max(x)
    exp_x = np.exp(x)
    softmax_x = exp_x / np.sum(exp_x)
    return softmax_x

然后再次測(cè)試一下：

softmax([1000, 2000, 3000])
array([ 0.,  0.,  1.])

Done!

以上都是基于向量上的softmax實(shí)現(xiàn)，下面提供了基于向量以及矩陣的softmax實(shí)現(xiàn)，代碼如下：

import numpy as np
def softmax(x):
    """
    Compute the softmax function for each row of the input x.

    Arguments:
    x -- A N dimensional vector or M x N dimensional numpy matrix.

    Return:
    x -- You are allowed to modify x in-place
    """
    orig_shape = x.shape

    if len(x.shape) > 1:
        # Matrix
        exp_minmax = lambda x: np.exp(x - np.max(x))
        denom = lambda x: 1.0 / np.sum(x)
        x = np.apply_along_axis(exp_minmax,1,x)
        denominator = np.apply_along_axis(denom,1,x) 
        
        if len(denominator.shape) == 1:
            denominator = denominator.reshape((denominator.shape[0],1))
        
        x = x * denominator
    else:
        # Vector
        x_max = np.max(x)
        x = x - x_max
        numerator = np.exp(x)
        denominator =  1.0 / np.sum(numerator)
        x = numerator.dot(denominator)
    
    assert x.shape == orig_shape
    return x