摘要：說(shuō)起浮點(diǎn)數(shù)，大家都是又恨又愛(ài)的。當(dāng)小數(shù)不為時(shí)，浮點(diǎn)數(shù)的值為，即不是一個(gè)數(shù)。所以，整個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制表示就是。最后其實(shí)，浮點(diǎn)數(shù)有很多坑。因此，我們?cè)谑褂酶↑c(diǎn)數(shù)的時(shí)候，一定要小心。還有，涉及到金額計(jì)算的時(shí)候，一定不能使用浮點(diǎn)數(shù)。

本文為作者自己的總結(jié)的，由于作者的水平限制，難免會(huì)有錯(cuò)誤，歡迎大家指正，感激不盡。

說(shuō)起浮點(diǎn)數(shù)，大家都是又恨又愛(ài)的。愛(ài)呢，是因?yàn)?，只有它可以方便地使用小?shù)；恨呢，是因?yàn)樗⒉荒芫_地表示小數(shù)。

以 PHP 為例：floor((0.1 + 0.7) * 10) 這樣一個(gè)函數(shù)調(diào)用，根據(jù)數(shù)學(xué)老師死得晚原理，大家都能得出 8 這個(gè)結(jié)果?？墒鞘聦?shí)上呢？它會(huì)返回 7。數(shù)學(xué)老師的棺材板。。。(╯‵□′)╯︵┻━┻

可是為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？這就要從浮點(diǎn)數(shù)的特性說(shuō)起了。

我們都知道，在計(jì)算機(jī)中，一切的一切都是二進(jìn)制表示的。假設(shè)一個(gè) 4 字節(jié)整型的十進(jìn)制數(shù) 8，在大端表示的機(jī)器中，表示成 00000000 00000000 00000000 00001000（0x0000008）。將十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，是非常容易的?？墒牵?shù)呢？比如，我們要表示 1.75，該怎么存儲(chǔ)在計(jì)算機(jī)中呢？顯然，不能像整數(shù)一樣存儲(chǔ)了。

讓我們回憶一下，在十進(jìn)制中，小數(shù)是怎么計(jì)算的。上面的 1.75 我們是這么算的：1 × 10^0 + 7 × 10^-1 + 5 × 10^-2 。那么我們按照相同的規(guī)則，來(lái)用二進(jìn)制計(jì)算一下小數(shù)部分：0.75 = 1/2 + 1/4，也就是 1 × 2^-1 + 1 × 2^-2 ，再加上前面的整數(shù)部分，那么整個(gè)式子就變成了 1 × 2^0 + 1 × 2^-1 + 1 × 2^-2 ，寫(xiě)成二進(jìn)制形式就是 1.11。所以，1.75 的二進(jìn)制表示是 1.11。

對(duì)于將小數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制，和整數(shù)部分除二取余相反的，是乘二取整。

0.75 * 2 = 1.5 -> 1
0.5 * 2 = 1 -> 1

所以我們同樣可以得出 1.11。

好了，我們已經(jīng)知道如何表示一個(gè)小數(shù)的二進(jìn)制了。辣么，問(wèn)題來(lái)了。學(xué)過(guò) C 語(yǔ)言的同學(xué)都知道，一個(gè) float 只有 4 字節(jié)，一個(gè) double 也只有 8 字節(jié)。那么，這么表示一個(gè)小數(shù)，好像范圍很有限。

在數(shù)學(xué)老師哭暈在廁所之前，我們應(yīng)該還記得十進(jìn)制數(shù)中有這么一個(gè)東西——科學(xué)計(jì)數(shù)法，我們可以很方便地用它來(lái)表示很大的十進(jìn)制數(shù)。那么，同理，我們也可以用在浮點(diǎn)數(shù)的表示上。

讓我們先來(lái)回憶一下，科學(xué)計(jì)數(shù)法的表示。假設(shè)我們有一個(gè)數(shù) 17500，我們可以用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示成 1.75 × 10^4 。我們照葫蘆畫(huà)瓢，在二進(jìn)制數(shù)中，假設(shè)有一個(gè)數(shù)是 11010。我們來(lái)和十進(jìn)制對(duì)應(yīng)一下。十進(jìn)制是乘 10，那么二進(jìn)制就是乘 2，我們對(duì)應(yīng)的就可以寫(xiě)成 1.101 × 2^100 。對(duì)，其實(shí)就是這么簡(jiǎn)單。那也許有的人會(huì)問(wèn)了，為什么不寫(xiě)成 0.1101 × 2^101 呢？我們?cè)賮?lái)回憶一下，在十進(jìn)制科學(xué)計(jì)數(shù)法中，是不是有一個(gè)規(guī)定，整數(shù)部分的范圍是 [1,10)。那對(duì)應(yīng)到我們的二進(jìn)制數(shù)上，這個(gè)規(guī)定就可以變成 [1,2) 了，沒(méi)錯(cuò)，對(duì)應(yīng)關(guān)系就是這么簡(jiǎn)單。

好了，我們現(xiàn)在也知道怎么使用二進(jìn)制來(lái)表示小數(shù)，以及使用科學(xué)計(jì)數(shù)法來(lái)表示二進(jìn)制小數(shù)了。那么，我們距離把數(shù)字存入計(jì)算機(jī)內(nèi)存僅剩一步之遙了，我們要把所有的東西存到內(nèi)存里去，那么我們就需要合理地分配內(nèi)存空間。浮點(diǎn)數(shù)有兩種，一種是單精度浮點(diǎn)數(shù)（float），占用 4 字節(jié)的內(nèi)存。其中，1 位是符號(hào)位，8 位是階碼（冪），23 位是尾數(shù)（小數(shù)部分）。

細(xì)心的各位可能會(huì)發(fā)現(xiàn)，好像沒(méi)有整數(shù)部分？別急，這就是上面那個(gè)規(guī)定的有用之處。當(dāng)整數(shù)部分在 [1,2) 之間時(shí)，也就只可能取到一個(gè)值 1，那么，對(duì)于這個(gè)值，我們是不是就可以當(dāng)做默認(rèn)值而不記錄在浮點(diǎn)數(shù)的表示中了？而這樣，我們的浮點(diǎn)數(shù)的精度又多了一位（小數(shù)部分的位數(shù)決定了精度）。這種表示叫做隱含 1 開(kāi)頭的表示。

到了這里，我們發(fā)現(xiàn)，第一位是浮點(diǎn)數(shù)的正負(fù)符號(hào)，那么，對(duì)于一個(gè)科學(xué)計(jì)數(shù)法來(lái)說(shuō)，階碼同樣需要有正負(fù)。而在單精度中，階碼只有 8 位；雙精度中，階碼只有 11 位。如果我們給階碼表示成補(bǔ)碼，那么，我們能夠表示的數(shù)的范圍就會(huì)縮小，這樣顯然是不劃算的。于是，偏置值就由此誕生了。

在內(nèi)存中的規(guī)格化的浮點(diǎn)數(shù)表示中，階碼并非是 2 的冪，而是經(jīng)過(guò)計(jì)算的結(jié)果，這個(gè)計(jì)算公式就是 e - Bias，這里的 Bias 就是偏置值，而 e 就是階碼在浮點(diǎn)數(shù)中的二進(jìn)制表示。Bias 的值是 2^k-1 - 1（單精度是 127，雙精度是 1023），所以，e - Bias 的取值范圍就是 [-126, 127]（單精度）和 [-1022, 1023]（雙精度）。其實(shí)如果對(duì)補(bǔ)碼了解的比較好的同學(xué)，應(yīng)該就能看出來(lái)，這其實(shí)就是省略了符號(hào)位的補(bǔ)碼表示）。

通過(guò)上面的隱含 1 開(kāi)頭的表示的尾數(shù)，我們可以計(jì)算出基數(shù) M = 1 + f。那么我們整個(gè)的浮點(diǎn)數(shù)可以寫(xiě)成這樣一個(gè)表達(dá)式：M × (e - Bias)。

對(duì)于規(guī)格化和非規(guī)格化的值來(lái)說(shuō)，我們都可以用同一個(gè)式子來(lái)表示。不過(guò)，為了某些更加方便的原因（這里就不展開(kāi)講了），對(duì)它們做了區(qū)分。如果按照規(guī)格化的計(jì)算來(lái)看，階碼的值是 0 - Bias，不過(guò)在這里，我們讓階碼的值等于 1 - Bias。同樣的，由于我們給階碼加了 1，那么整個(gè)浮點(diǎn)數(shù)就會(huì)向左移動(dòng)一位，那么，我們需要讓浮點(diǎn)數(shù)的值不變，M 就不在需要上面整數(shù)部分的 1 了，所以 M = f。

同時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題，那就是 +0.0 和 -0.0 在浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制表示上是不同的。

最后，還剩下這樣一種數(shù)字，那就是階碼全為 1 的情況。當(dāng)小數(shù)為 0 的時(shí)候，浮點(diǎn)數(shù)的值為 ∞。當(dāng)小數(shù)不為 0 時(shí)，浮點(diǎn)數(shù)的值為 NaN，即不是一個(gè)數(shù)（Not a Number）。

好了，扯了這么多，我們現(xiàn)在回到最開(kāi)始的問(wèn)題上，floor((0.1 + 0.7) * 10) = 7。我們先看 0.1 的二進(jìn)制表示。

首先，我們將十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制小數(shù)，可以得到 0.000[1100]···。讓我們轉(zhuǎn)換成浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制表示。按照上面的規(guī)則，它可以被表示成科學(xué)計(jì)數(shù)法 1.10011001100110011001100 × 2^-4 ，這樣，階碼就是 -4 + 127 = 123，二進(jìn)制表示為 01111011。所以，整個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的二進(jìn)制表示就是 00111101110011001100110011001100(0x3dcccccc)。同樣的，0.7 會(huì)表示為00111101001100110011001100110011(0x3d333333)。

首先我們要對(duì)階碼小的數(shù)進(jìn)行對(duì)階，然后再進(jìn)行尾數(shù)的加法，這樣，我們得到的值就是 00111101111001100110011001100101。我們將其轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制，發(fā)現(xiàn)，它是小于 0.8 的。因此，當(dāng)我們?cè)龠M(jìn)行乘法運(yùn)算向下取整時(shí)，會(huì)等于 7。

其實(shí)，浮點(diǎn)數(shù)有很多坑。因此，我們?cè)谑褂酶↑c(diǎn)數(shù)的時(shí)候，一定要小心。還有，涉及到金額計(jì)算的時(shí)候，一定不能使用浮點(diǎn)數(shù)。

本文為作者自己讀書(shū)總結(jié)的文章，由于作者的水平限制，難免會(huì)有錯(cuò)誤，歡迎大家指正，感激不盡。

《深入理解計(jì)算機(jī)系統(tǒng)（第 3 版）》第 2.4.2 節(jié)