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求質(zhì)數(shù)的各個(gè)算法比較

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摘要：首先明確一下概念質(zhì)數(shù)又稱素?cái)?shù)，有無限個(gè)。質(zhì)數(shù)定義為在大于的自然數(shù)中，除了和它本身以外不再有其他因數(shù)的數(shù)稱為質(zhì)數(shù)。以內(nèi)質(zhì)數(shù)表質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是無窮的。

首先聲明本人水平有限，僅僅做一下記錄，有錯(cuò)的地方請指正，文章垃圾請包容??！

在網(wǎng)上不小心瀏覽到一篇技術(shù)博客，叫做《求質(zhì)數(shù)算法的N種境界（N>10）》，寫得很好，有興趣的讀者自己去搜索。然后就想自己去試試這篇博客里寫得各種求質(zhì)數(shù)的方法。

不想搭環(huán)境，就暫時(shí)用了PHP語言，在apache里運(yùn)行，簡易測試一下。

首先明確一下概念
質(zhì)數(shù)（prime number）又稱素?cái)?shù)，有無限個(gè)。質(zhì)數(shù)定義為在大于1的自然數(shù)中，

除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)的數(shù)稱為質(zhì)數(shù)。
100以內(nèi)質(zhì)數(shù)表
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47
53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是無窮的。

相對的就是合數(shù)

合數(shù)，數(shù)學(xué)用語，英文名為Composite number，指自然數(shù)中除了能被1和本身整除外，
還能被其他數(shù)（0除外）整除的數(shù)（如：4，6，8，9，10）。
與之相對的是質(zhì)數(shù)，而1既不屬于質(zhì)數(shù)也不屬于合數(shù)。最小的合數(shù)是4。

以下是求100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)算法
//1.最基礎(chǔ)的寫法
$a = 1;//序號，標(biāo)識個(gè)數(shù)
for($i = 2; $i < 101; $i++) {
$primes = 0;
for($k = 1; $k <= $i; $k++)
if($i%$k === 0) $primes++;
if($primes <= 2){ // 能除以1和自身的整數(shù)(不包括0)
echo $a . ".{$i}
";
$a++;
}
}

//2.考慮所有數(shù)都可以被1整除和
//如果有（除了自身以外的）質(zhì)因數(shù)，那肯定會(huì)小于等于 $i/2，所以 $i/2
//這里不能輕易將第一個(gè)算法的語句for($k = 1; $k <= $i; $k++)改成
//for($k = 1; $k <= $i/2; $k++); 原因自己試試就知道了

$a = 1;//序號，標(biāo)識個(gè)數(shù)
for($i = 2; $i < 101; $i++) {
$primes = 0;
for($k = 2; $k <= $i/2; $k++)
if($i%$k === 0) $primes++;
if($primes <= 0){ // 能除以1和自身的整數(shù)(不包括0)
echo $a . ".{$i}
";
$a++;
}
}

//3.進(jìn)一步想除了2以外，所有可能的質(zhì)因數(shù)都是奇數(shù)。
//所以先測試2，然后再測試3到$i/2的所有奇數(shù)。
//關(guān)鍵特殊考慮數(shù)字2
$a = 1;//序號，標(biāo)識個(gè)數(shù)
for($i = 2; $i < 101; $i++) {
$primes = 0;
if($i != 2 && $i%2 === 0) $primes++;

for($k = 3; $k <= $i/2; $k=$k+2)
if($i%$k === 0) $primes++;

if($primes <= 0){ // 能除以1和自身的整數(shù)(不包括0)
echo $a . ".{$i}
";
$a++;
}
}

//4.其實(shí)只要從 2 一直嘗試到√x（開平方），就可以了。
$a = 1;//序號，標(biāo)識個(gè)數(shù)
for($i = 2; $i < 101; $i++) {
$primes = 0;
if($i != 2 && $i%2 === 0) $primes++;

for($k = 3; $k <= sqrt($i); $k=$k+2)
if($i%$k === 0) $primes++;

if($primes <= 0){ // 能除以1和自身的整數(shù)(不包括0)
echo $a . ".{$i}
";
$a++;
}
}

//5.其實(shí)只要從 2 一直嘗試到√x（開平方）其中的所有質(zhì)數(shù)就可以
//算法理論中經(jīng)常提到的：以空間換時(shí)間。就是先存之前的結(jié)果再拿來用
//以下本人寫得只是用一個(gè)數(shù)組來實(shí)現(xiàn)這個(gè)算法，本人技術(shù)有限，不知這樣是否準(zhǔn)確理解原博
//客作者的意圖，就當(dāng)隨便看看吧
$arr =array();
$a = 1;//序號，標(biāo)識個(gè)數(shù)
for($i = 2; $i < 101; $i++) {
$primes = 0;
if($i != 2 && $i%2 === 0) $primes++;
if(!empty($arr)){

foreach($arr as $key => $value){
    if($value <= sqrt($i)){
        if($i%$value === 0) $primes++;
    }
}

}
if($primes <= 0){ // 能除以1和自身的整數(shù)(不包括0)
array_push($arr,$i);
echo $a . ".{$i}
";
$a++;
}
}

接下來，我們做一下簡單的性能測試，比較一下各個(gè)算法的優(yōu)劣，僅僅從時(shí)間上考慮
以下是測試結(jié)果

因?yàn)樗惴?，2,3差異性不是很大，不做比較，比較以下1,4,5的優(yōu)劣
100以內(nèi)
算法一
[time:0.00099992752075195]s
算法五
[time:0.0010001659393311]s
結(jié)果顯示在100以內(nèi)差異性不大

1000以內(nèi)
算法一
[time:0.059004068374634]s
算法四
[time:0.004000186920166]s
算法五
[time:0.035001993179321]s
結(jié)果顯示在1000以內(nèi)，算法四已經(jīng)凸顯優(yōu)勢了

10000以內(nèi)
算法一
[time:4.537260055542]s
算法四
[time:0.19901204109192]s
算法五
[time:1.9741129875183]s
結(jié)果顯示在10000以內(nèi)，算法一已經(jīng)不行了
算法五也不行了

100000以內(nèi)
算法一
[time:542.75104403496]s
算法四
[time:3.6972119808197]s
算法五
[time:164.25539493561]s
結(jié)果顯示在100000以內(nèi)，除了算法四可行，其他都不行

總結(jié)：開始以為算法五會(huì)更勝一籌，不知道是我寫法垃圾，還是php數(shù)組的底層問題，也可能我不理解空間換時(shí)間的本質(zhì)，所以目前還是算法4最優(yōu)了。

本人水平有限，僅僅做一下記錄，有錯(cuò)的地方請指正，文章垃圾請包容??！

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