前言

文章摘抄至《算法之美》，附帶了Python模擬。

不久前，我去觀看草地網(wǎng)球錦標(biāo)賽，一位十分沮喪的運(yùn)動(dòng)員引起了我對(duì)球賽目前采用的名次確定方法的注意。這位運(yùn)動(dòng)員在比賽中早早落敗，因此徹底失去了獲得獎(jiǎng)牌的機(jī)會(huì)。令他感到屈辱的是，獲得第二名的是他知道的一名遠(yuǎn)不如自己的運(yùn)動(dòng)員。

普通觀眾可能會(huì)把這種“哀嘆”歸咎于失敗的痛苦，但道奇森并不是一個(gè)同情心泛濫的人，他是牛津大學(xué)數(shù)學(xué)系講師，因此，在聽(tīng)到運(yùn)動(dòng)員的抱怨之后，他決定對(duì)體育賽事展開(kāi)深入調(diào)查。道奇森不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)家（其實(shí)他幾乎不記得自己是從事數(shù)學(xué)研究的）?，F(xiàn)在，反而是他的筆名——?jiǎng)⒁姿埂た_爾更加廣為人知。他以這個(gè)筆名寫(xiě)出了《愛(ài)麗絲漫游奇境記》以及大量其他深受歡迎的文學(xué)作品。他還將他的數(shù)學(xué)知識(shí)與文學(xué)天賦相結(jié)合，完成了一篇知名度略低的文章——《草地網(wǎng)球錦標(biāo)賽：正確的名次確定方法以及現(xiàn)行方法辨誤》。

道奇森針對(duì)的是單一淘汰賽。在這種賽制下，運(yùn)動(dòng)員兩兩對(duì)決，只要輸?shù)粢粓?chǎng)比賽，就會(huì)被淘汰出局。道奇森的理由非常有說(shuō)服力，他認(rèn)為，貨真價(jià)實(shí)的第二名有可能是被第一名淘汰的任何人，而不一定是最后才被淘汰的那名運(yùn)動(dòng)員。

直白地說(shuō)，銀牌是一種假象?！白鳛橐粋€(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)，”他繼續(xù)寫(xiě)道，“實(shí)力排第二位的運(yùn)動(dòng)員獲得應(yīng)得名次的機(jī)會(huì)只有16/31。而最優(yōu)秀的4名運(yùn)動(dòng)員獲得與實(shí)力相稱名次的機(jī)會(huì)非常小，發(fā)生的概率為1/12！”

這里可以借助Python演示一下（語(yǔ)言不重要，可以改成自己熟悉的。）

import copyimport randomclass Participants():    def __init__(self,*_participants):        self.name = _participants[0]  # 1號(hào)球員        self.performance =_participants[1]   # 自身成績(jī)        self.racePlaces = _participants[2]  # 比賽名次# 實(shí)例100個(gè)選手，并且假設(shè)從5號(hào)以后的選手，實(shí)例都不如前4個(gè)arrPart=[]arrPart.append(Participants("No.1",100,0,0))arrPart.append(Participants("No.2",99,0,0))arrPart.append(Participants("No.3",98,0,0))arrPart.append(Participants("No.4",97,0,0))for i in range(5,101):    arrPart.append(Participants(f"No.{i}", random.randint(0,96), 0, 0))# 單場(chǎng)比賽（傳入2個(gè)人員，和名次）返回，勝利者、失敗者def race(one,two,topNum):    unitRace=[]    if(one.performance > two.performance):        print(f"{one.name}和{two.name}比賽，{one.name}勝利")        one.racePlaces=topNum        two.racePlaces=topNum-1        unitRace.append(one)        unitRace.append(two)        return one,two    else:        print(f"{one.name}和{two.name}比賽，{two.name}勝利")        two.racePlaces=topNum-1        unitRace.append(two)        one.racePlaces=topNum        unitRace.append(one)        return two,one# 排位開(kāi)始def knockout(all):    arrVictory=[]   #保存勝利者    # 選出前4名后結(jié)束    if(len(all)<=3):        print("++++++++++++++++++=================")        print(all[1].name)        return all    # 依次進(jìn)行兩兩比賽，同批次淘汰賽只參加一次    while( len(all) > 1 ):        topNum=len(all)        r=random.randint(0,len(all)-1)        one=all[r]        # 參賽后，從當(dāng)前候選名單刪除        all.remove(one)        r=random.randint(0,len(all)-1)        two=all[r]        all.remove(two)        victory,fail=race(one,two,topNum)        print(victory.name)        arrVictory.append(victory) # 添加勝利者    # 沒(méi)有進(jìn)行匹配的直接晉級(jí)    if( len(all) == 1):        arrVictory.append(all[0])    print("***********************--------------------------")    # 下一輪淘汰賽    return knockout(arrVictory)# 統(tǒng)計(jì)1000次模擬種有幾次實(shí)力3號(hào)選手能進(jìn)前三isNO2count=0for i in range(1000):    arrPart1=copy.copy(arrPart)    victorys=knockout(arrPart1)    for v in victorys:        if v.name=="No.3":            print("名次：%d"%(v.racePlaces))            isNO2count += 1            breakprint(isNO2count)

== 看輸出結(jié)果，我們很容易發(fā)現(xiàn)，結(jié)果在22-28%之間徘徊。 ==
而只有把if v.name==‘No.3’:的No.3改成No.1才會(huì)是100%。

盡管道奇森的文章犀利有力，卻沒(méi)有對(duì)草地網(wǎng)球產(chǎn)生任何影響。他提出應(yīng)該采取三敗淘汰制（根據(jù)這種賽制，擊敗過(guò)你的運(yùn)動(dòng)員如果落敗，也有可能導(dǎo)致你隨之出局），但是這個(gè)提議根本沒(méi)有人理會(huì)。不過(guò)，雖然道奇森的解決方案實(shí)施起來(lái)有很大的難度，但是他在這個(gè)問(wèn)題上的看法仍然是有道理的。（可惜的是，至今為止，在單淘汰賽中，仍然會(huì)頒發(fā)銀牌。）不過(guò)，道奇森的邏輯還給我們帶來(lái)了一個(gè)更加深刻的認(rèn)識(shí)。我們?nèi)祟惒粌H會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)、財(cái)產(chǎn)進(jìn)行排序，還會(huì)把我們自己變成排序?qū)ο蟆?br />

世界杯、奧運(yùn)會(huì)、美國(guó)全國(guó)大學(xué)體育協(xié)會(huì)（NCAA）、美國(guó)全國(guó)橄欖球聯(lián)盟（NFL）、美國(guó)全國(guó)曲棍球聯(lián)合會(huì)（NHL）、美國(guó)職業(yè)籃球聯(lián)賽（NBA）和美國(guó)職業(yè)棒球大聯(lián)盟（MLB），所有這些賽事都毫無(wú)疑問(wèn)地使用了排序程序，利用賽季、排位賽和季后賽等算法排出先后關(guān)系。體育運(yùn)動(dòng)中的循環(huán)賽制就利用了算法。如果一共有n支運(yùn)動(dòng)隊(duì)，那么每支運(yùn)動(dòng)隊(duì)最終都要和其余n-1支隊(duì)伍比賽。這種賽制雖然可以說(shuō)是最全面的，但也最費(fèi)時(shí)費(fèi)力。

讓每一支運(yùn)動(dòng)隊(duì)都與其他所有隊(duì)伍比賽，就像在晚宴上讓客人兩兩擁抱一樣，最終會(huì)需要可怕的O（n²）次角逐。排位賽（在羽毛球、英式壁球和美式壁球等體育項(xiàng)目中比較常見(jiàn)）對(duì)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行線性排序，每個(gè)球員都可以直接向排在前面一位的球員發(fā)起挑戰(zhàn)，如果獲勝，則交換排位。排位賽就相當(dāng)于運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上的冒泡排序，因此也是平方排序，需要O（n²）場(chǎng)比賽才能得到穩(wěn)定的排名。

到這里就要提到算法的兩個(gè)基礎(chǔ)概念：

1.時(shí)間復(fù)雜度

「 大O符號(hào)表示法 」，即 T(n) = O(f(n))
在 大O符號(hào)表示法中，時(shí)間復(fù)雜度的公式是： T(n) = O( f(n) )，其中f(n) 表示每行代碼執(zhí)行次數(shù)之和，而 O 表示正比例關(guān)系，這個(gè)公式的全稱是：算法的漸進(jìn)時(shí)間復(fù)雜度。

** 在剛剛的演示代碼中，race函數(shù)的執(zhí)行次數(shù)就是一個(gè)時(shí)間復(fù)雜度的統(tǒng)計(jì)，所以，該程序的時(shí)間復(fù)雜度為O(n log n) **

3.空間復(fù)雜度

空間復(fù)雜度是對(duì)一個(gè)算法在運(yùn)行過(guò)程中臨時(shí)占用存儲(chǔ)空間大小的一個(gè)量度，同樣反映的是一個(gè)趨勢(shì)，我們用 S(n) 來(lái)定義。

** 在剛剛的演示代碼中，一個(gè)人/同一時(shí)間，只有一個(gè)場(chǎng)地比賽，所以，它的空間復(fù)雜度為S(1) **

原文補(bǔ)充：

不過(guò)，最流行的賽制可能還是分組淘汰——著名的“瘋狂三月”NCAA籃球賽就是其中一例?！隘偪袢隆卞\標(biāo)賽的賽程包含“64強(qiáng)賽”“32強(qiáng)賽”到“甜蜜16強(qiáng)”“8強(qiáng)賽”“最后4強(qiáng)”和總決賽。每一輪都會(huì)導(dǎo)致比賽人數(shù)減半。與我們熟悉的對(duì)數(shù)排序很像吧？這種賽制其實(shí)就是合并排序，先讓球隊(duì)無(wú)序配對(duì)，然后進(jìn)行一輪又一輪的比較。
我們知道合并排序需要線性對(duì)數(shù)時(shí)間［即O（n log n）］，因此，如果一共有64支隊(duì)伍，可以預(yù)計(jì)比賽只需要進(jìn)行6輪（一共192場(chǎng)），而采用排位賽或者循環(huán)賽，則需要多達(dá)63輪（2016場(chǎng)）比賽。這是一個(gè)巨大的改進(jìn)，說(shuō)明對(duì)數(shù)設(shè)計(jì)發(fā)揮了效用。

“瘋狂三月”有6輪比賽，似乎沒(méi)有問(wèn)題，但是怎么是192場(chǎng)比賽呢？
美國(guó)大學(xué)體育協(xié)會(huì)錦標(biāo)賽不是只有63場(chǎng)比賽嗎？

“瘋狂三月”其實(shí)不完全是一種合并排序法，因?yàn)樗](méi)有產(chǎn)生所有64支隊(duì)伍的完整排序。要對(duì)所有球隊(duì)進(jìn)行排名，我們需要增加一組比賽才能確定第二名，確定第三名時(shí)又需要增加一組比賽，以此類推，比賽的總場(chǎng)次就會(huì)是一個(gè)線性對(duì)數(shù)函數(shù)。但是“瘋狂三月”沒(méi)有采取這種賽制。相反，就像道奇森抱怨的草地網(wǎng)球錦標(biāo)賽一樣，它采用的是一種單一淘汰制，被淘汰的球隊(duì)是不排序的。這種賽制的優(yōu)勢(shì)在于它的線性時(shí)間。由于每場(chǎng)比賽正好淘汰一支隊(duì)伍，因此，要讓一支隊(duì)伍留到最后，一共需要n-1場(chǎng)比賽。這是一個(gè)線性數(shù)字。不足之處是，這種賽制只能決出第一名，無(wú)法給出名次表。

最后

很多優(yōu)秀的算法，很容易在生活中找到案例，同時(shí)也可以把算法技巧用在生活和工作上。
書(shū)名為《算法之美–指導(dǎo)工作與生活的算法》

同時(shí)推薦一本《數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法__Python語(yǔ)言描述_裘宗燕編著_北京：機(jī)械工業(yè)出版社》

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