摘要：將補數(shù)的概念用到計算機中，便出現(xiàn)了補碼這種機器數(shù)。通常，從原碼形式入手來求補碼。它與補碼的區(qū)別是末位少加一個，因此很容易從補碼的定義推出反碼的定義。若真值為純小數(shù)，它的反碼形式為其中表示符號位。

一、原碼表示法

原碼表示法是一種最簡單的機器數(shù)表示法，其最高位為符號位，符號位為“0”時表示該數(shù)為正，符號位為“1”時表示該數(shù)為負，數(shù)值部分與真值相同。
若真值為純小數(shù)，它的原碼形式為Xs,.X1X2X3...Xn，其中Xs表示符號位。原碼定義為：

example-1: 
            若：X = 0.0110
            則：[X]原 = X = 0.0110 
            
            若：X = -0.0110
            則：[X]原 = 1 - X 
                      = 1 - (-0.0110) 
                      = 1 + 0.0110 
                      = 1.0110

若真值為純整數(shù)，它的原碼形式為XsX1X2X3...Xn，其中Xs表示符號位。原碼的定義為：

example-2:
            若：X = 1101
            則：[X]原 = X = 01101
            
            若：X = -1101
            則：[X]原 = 2^n - X 
                      = 2^4 - (-1101) 
                      = 10000 + 1101 
                      = 11101

在原碼表示中，真值0有兩種不同的表示形式：

[+0]原 = 00000 
[-0]原 = 10000

原碼表示方法的優(yōu)點是直觀易懂，機器數(shù)和真值間的相互轉(zhuǎn)換很容易，用原碼實現(xiàn)乘、除運算的規(guī)則很簡單；缺點是實現(xiàn)加、減運算的規(guī)則較復(fù)雜。

二、補碼表示法

1.模和同余
為了理解補碼表示法，首先需要引入模和同余的概念。
模(Module)是指一個計量器的容量，可用M表示。例如：一個4位的二進制計數(shù)器，當(dāng)計數(shù)器從0計到15之后，再加1，計數(shù)值又變回0.這個計數(shù)器的容量M = 2^4 = 16,即模為16.由此可見，純小數(shù)的模為2，一個字長為n + 1位的純整數(shù)的模為2^(n+1)。 同余概念是指兩個整數(shù)A和B除以同一個正整數(shù)M，所得余數(shù)相同，則A和B對M同余，即A和B在以M為模時是相等的，可讀作： A = B(mod M)。對鐘表而言，其模M = 12，故4點和16點、5點和17點、...均是同余的，它們可以寫作：4 = 16(mod 12)，5 =17(mod 12) 利用模和同余概念的補碼表示法在進行算數(shù)運算時可以使減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算，從而簡化機器的運算器電路。
假設(shè)：時鐘停在8點，而現(xiàn)在正確的時間是6點，這時撥準(zhǔn)時鐘的方法有兩種： 
（1）將分針倒著旋轉(zhuǎn)兩圈(即時鐘倒撥兩個小時)，8 - 2 = 6(做減法) 
（2）將分針正著旋轉(zhuǎn)10圈(即時鐘正撥10小時)，8 + 10 = 6(mod 12)(做加法) 此時，8 - 2 = 8 + 10(mod 12) 
設(shè)： A = -2, B = 10 則：10/12 = (12 - 2)/12 = 1 + -2/12
故：-2和10同余。同余的兩個數(shù)，具有互補關(guān)系，-2余10對模12互補，也可以說-2的補數(shù)是10(以12為模)。
可見，只要確定了“模”，就可找到一個與負數(shù)等價的正數(shù)(該正數(shù)即為負數(shù)的補數(shù))來代替此負數(shù)，而這個正數(shù)可以用模加上負數(shù)本身求得，這樣就可把減法運算用加法實現(xiàn)了。

example-3: 
            9 - 5 = 9 + (-5) 
                  = 9 + (12 - 5) 
                  = 9 + 7 
                  = 4(mod 12)

example-4：
            65 - 25 = 65 + (-25) 
                    = 65 + (100 -25) 
                    = 65 + 75 
                    = 40(mod 100)

將補數(shù)的概念用到計算機中，便出現(xiàn)了補碼這種機器數(shù)。

2.補碼表示
補碼的符號位表示方法與原碼相同，其數(shù)值部分的表示與數(shù)的正負有關(guān)；對于正數(shù)，數(shù)值部分與真值形式相同；對于負數(shù)，將真值的數(shù)值部分按位取反，且在最低位上加1.
若真值為純小數(shù)，它的補碼形式為Xs,.X1X1...Xn，其中Xs表示符號位。補碼的定義為：

example-5: 
            若：X = 0.0110
            則：[X]補 = X = 0.0110
            
            若：X = -0.0110
            則：[X]補 = 2 + X 
                      = 2 + (-0.0110) 
                      = 10 - 0.0110 
                      = 1.1010

若真值為純整數(shù)，它的補碼形式為XsX1X2...Xn，其中Xs表示符號位。補碼定義為：

example-6:
            若：X = 1101;    
            則：[X]補 = X = 01101;

            若：X = -1101;
            則：[X]補 = 2^(n+1) + X 
                      = 2^5 + (-1101) 
                      = 100000 - 1101 
                      = 10011

在補碼表示中，真值0的便是形式是唯一的：

[+0]補 = [-0]補 = 0000

3.由真值、原碼轉(zhuǎn)換為補碼
采用補碼系統(tǒng)的計算機需要將真值或原碼形式表示的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)為補碼形式，以便于運算器對其進行運算。通常，從原碼形式入手來求補碼。
當(dāng)X為正數(shù)時，[X]補 = [X]原 = X。 當(dāng)X為負數(shù)時，其[X]補等于把[X]原除去符號位外的各位求反后再加“1”。
反之，當(dāng)X為負數(shù)時，已知[X]補，也可通過對其除符號位外的各位求反加“1”求得[X]原
當(dāng)X為負數(shù)時，由[X]原轉(zhuǎn)換為[X]補得另一種更有效的方法是：自低位向高位，尾數(shù)的第一個“1”及其右部的“0”保持不變，左邊的各位取反，符號位保持不變。

example-7:
            若：[X]原 = 1.1110011000
            則：[X]補 = 1.000110***1000***(符號位和斜體部分不變，其他位取反)

這種方法避免了加1運算，是實際求補線路邏輯實現(xiàn)的依據(jù)。
也可以直接由真值X轉(zhuǎn)換為[X]補，其方法更簡單：數(shù)值位自低位向高位，尾數(shù)的第一個“1”及其右部的“0”保持不變，左部的各位取反，負號用“1”表示。

example-8: 
            若：X = -0.1010001010
            則：[X]補 = 1.0101110110

三、反碼表示法

反碼表示法與補碼表示法有很多類似之處，對于整數(shù)，數(shù)值部分與真值形式相同；對于負數(shù)，將真值的數(shù)值按位取反。它與補碼的區(qū)別是末位少加一個“1”，因此很容易從補碼的定義推出反碼的定義。
若真值為純小數(shù)，它的反碼形式為Xs,.X1X2...Xn,其中Xs表示符號位。反碼的定義為：

example-9:
            若：X = 0.0110
            則：[X]反 = 0.0110
            
            若：X = -0.0110
            則：[X]反 = (2 - 2^-n) + X 
                      = (2 - 2^-4) + (-0.0110) 
                      = 1.1111 + (-0.0110) 
                      = 1.1111 - 0.0110 
                      = 1.1001

若真值為純整數(shù)，它的反碼形式為XsX1X2...Xn，其中Xs表示符號位。反碼的定義為：

example-10:
            若：X = 1101
            則：[X]反 = 01101
            
            若：X = -1101
            則：[X]反 = (2^(n+1) - 1) + X 
                      = (2^5 - 1) + (-1101) 
                      = 11111 - 1101 
                      = 10010

在反碼表示中，真值0也有兩種不同的表示形式：

[+0]反 = 00000 
[-0]反 = 11111

四、三種碼制的比較

三種碼制既有共同點，又有各自不同的性質(zhì)，主要區(qū)別有以下幾點： 
（1）對于正數(shù)它們都等于真值本身，而對于負數(shù)各有不同的表示
（2）最高位都是表示符號位，補碼和反碼的符號位可作為數(shù)值位的一部分看待，和數(shù)值位一起參加運算；但原碼的符號位不允許和數(shù)值位同等看待，必須分開進行處理
（3）對于真值0，原碼和反碼各有兩種不同的表示形式，而反碼只有唯一的一種表示形式
（4）原碼、反碼表示的正、負數(shù)范圍相對于零來說是對稱的；但補碼負數(shù)表示范圍較正數(shù)范圍寬，能多表示一個最負的數(shù)(絕對值最大的負數(shù))，其值等于-2^n(純整數(shù))或-1(純小數(shù))

參考：計算機組成原理、Structured Computer Organization、Computer Organization and Design-The Hardware/Software Interface